Zeige sorgfältig mit Hilfe der Dreicksungleichung, dass jedes B_{r} eine offene Menge ist.

Question

Aufgabe:

4) Zeige sorgfältig mit Hilfe der Dreicksungleichung, dass jedes \( B_{r}(a)=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ;\|x-a\|<\right. \) \( r\} \) eine offene Menge ist.

Problem/Ansatz:

Es macht sehr Sinn, dass B eine offene Menge sein muss, da d(x,a) < r ist und r der Rand wäre (Vergleich zu <=r, wo der Rand Teil der Menge wäre). Auch euklidisch-geometrisch ist das sehr einleuchtend, weil eine Kugel keinen Rand hat.

Ich habe mir überlegt, dass jede Teilmenge von B bzw. jeder Ball innerhalb von B ebenfalls eine offene Menge sein müsste. Dementsprechend müsste jedes r von diesen kleineren Bällen der Teilmenge kleiner als das "originale" r sein. Kann ich das für den gesuchten Beweis verwenden und falls ja, wie formuliere ich das?

Answer 1

Sei \(x\in B_r(a)\).

Sei \(\varepsilon > 0\) mit \(\left\Vert x-a\right\Vert + \varepsilon < r \).

Sei \(y \in \mathbb{R}^3\) mit \(\left\Vert x-y\right\Vert < \varepsilon \).

Begründe warum \(y\in B_r(a)\) ist.