Wie groß muss die vierte Seite gewählt werden, damit der Inhalt ein Maximum wird?

Question

Aufgabe:

Drei Seiten eines Trapezes haben die gleiche Länge a. Wie groß muss die vierte Seite gewählt werden, damit der Inhalt ein Maximum wird?

Problem/Ansatz:

Ich fange leider damit nichts an und bitte um jegliche Hilfe

Answer 1

Für den Flächeninhalt A(x) gilt (1) A(x)=\( \frac{(x+a)·h}{2} \)

Nach Pythagoras gilt (2) \( ( \frac{x-a}{2})^{2} \)+h²=a²

(2) hach h auflösen und in (1) einsetzen.

Ergibt eine Funktionenschar mit den Parameter a und der Variablen x. Die Nullstelle der ersten Ableitung nennt ein x in Abhängigkeit von a, das die Länge der vierten Seite angibt.

Answer 2

Also sind 2 von den a die nichtparallelen Seiten und eine der

Parallelen ist a und die andere a+2x; denn das

Trapez ist ja gleichschenklig.

Dann gilt für seine Höhe h nach Pythagoras h^2 + x^2 = a^2

also h=√(a^2 - x^2 )   und für die Fläche

A (x) = (a+a+2x)*h /2 = (a +x) * √(a^2 - x^2 )

Dann mit A ' (x) = 0  etc. das Max. bestimmen, ich komme auf x=a/2.

Answer 3

damit der Inhalt ein Maximum wird?

Formel für den Inhalt hinschreiben. Die Figur ist ein Trapez, also

        \(A = \frac{a+c}{2}\cdot h\)

wobei \(a\) und \(c\) die Längen der paralleln Seiten sind und \(h\) deren Abstand.

Wie groß muss die vierte Seite gewählt werden

\(c\).

Drei Seiten eines Trapezes haben die gleiche Länge a.

Das Trapez ist gleichschenklig. Rechts und links kannst du je ein rechtwinkliges Dreieck abschneiden, so dass ein Rechteck übrig bleibt.

Über die abgeschnittenen Dreiecke sagte Pythagoras

        \(a^2 = \left(\frac{c-a}{2}\right)^2 + h^2\).

Forme nach \(h\) um und setze in die Formel ein. Dann hast du die Zielfunktion in Abhängigkeit von \(c\). Das \(a\) wird wie ein Parameter behandelt.