Dreieck an Achse drehen (Vektorgeometrie)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche und den Eckpunkten A(0|0|0) B(6|0|0) C(6|6|0) D(0|6|0) und S(3|3|4).

Die Pyramide verändert ihre Form, wenn sich der Eckpunkt D auf der positiven x₂-Achse bewegt. Der Eckpunkt wird dann D_K bezeichnet und es gilt D_K (0|k|0) für k>0.

a) Das Dreieck SCD_K wird um die Kante CD_K gedreht, bis sich ein Eckpunkt des Dreiecks im Punkt P(9|11|0) befindet. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von k.

b) Zusätzlich zum Eckpunkt D_K verändert sich nun auch die x₃-Koordinate der Spitze S der Pyramide in Abhängigkeit von k. Für die Koordinaten der Spitze S_k(3|3|h(k)) mit einer für k>0 definierten Funktion h. Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Funktion h so, dass die Pyramide für jeden Wert von k ein Volumen von 48 besitzt.

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wie man die Aufgabe lösen soll. Ich rechne bereits seit mehreren Stunden und bin noch zu keiner nennenswerter Lösung gekommen. Ein guter Lösungsansatz würde mir schon sehr weiterhelfen.

Answer 1

Hallo,

eine interessante Frage !

Ein guter Lösungsansatz würde mir schon sehr weiterhelfen.

Ein guter Lösungsansatz beginnt mit einem gutem Bild:

Wenn der Punkt \(S\) durch eine Drehung um \(CD_k\) nach \(P\) überführt wird, dann liegt die Gerade durch \(SP\) in einer Drehebene - also eine Ebene, zu der \(CD_k\) senkrecht verläuft. Da \(CD_k\) in der XY-Ebene liegt steht jede Drehebene senkrecht auf der XY-Ebene. Somit verläuft \(CD_k\) parallel zu$$\vec{CD_k} \parallel \vec e_z \times \vec{PS} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-6\\ -8\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\ -6\\ 0\end{pmatrix}$$Daraus folgt die Parameterform der Geraden \(d\) durch \(CD_k\)$$d: \quad \vec x = \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}8\\ -6\\ 0\end{pmatrix}$$für \(t=-3/4\) wird die X-Koordinate von \(d\) zu 0. Somit ist \(D_k\)$$D_k = d\left(t=-\frac 34\right) = \begin{pmatrix}0\\ 10,5\\ 0\end{pmatrix}$$\(k\) ist also \(k=10,5\).

zu b) Das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit des Parameters \(k\) und der Höhe \(h\) ist$$V = \frac 13 h \cdot G = \frac 13 h \cdot 6\cdot \frac {k+6}2 = h(k+6)$$Lt. Aufgabenstellung soll das Volumen konstant \(V=48\) betragen. Auflösen nach \(h\) gibt$$h = \frac{48}{k+6}$$Bem.: \(h(k=6) = 4\)

Gruß Werner

Comments

Die Ergebnisse sind deckungsgleich mit der mir verfügbaren Lösung.