Hallo, b) lässt sich nur näerungsweise lösen. Dafür kann man das ganze so umformen: \(9^x-5.7^x-1=0\) und ich definiere eine Funktion \(f(x)=9^x-5.7^x-1\) und werte sie nun auf dem Intervall \([0,1]\) aus: \(f(0)=-1, \quad f(1)=2.3\). \(f\) hat also im Bereich \([0,1]\) ein Vorzeichenwechsel. Und da \(f\) eine stetige Funktion (anschaulich gesagt sprungfrei) ist, gibt es also im Intervall \([0,1]\) eine (mindestens) Nullstelle. Die kann man nun durch verschiedene Verfahren näherungsweise berechnen, zb mit Intervallhalbierung:
1.) Betrachte Intervall \([0,1]\):
\(f(0) = -1.0<0,\quad f(1) = 2.3>0\)
Mitte vom Intervall \([0,1]\) ist \(m = 0.5 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.38747<0\)
==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.5,1]\)
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2.) Betrachte Intervall \([0.5,1]\):
\(f(0.5) \approx -0.38747<0,\quad f(1) = 2.3>0\)
Mitte vom Intervall \([0.5,1]\) ist \(m = 0.75 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.50717>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.5,0.75]\)
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3.) Betrachte Intervall \([0.5,0.75]\):
\(f(0.5) \approx -0.38747<0,\quad f(0.75) \approx 0.50717>0\)
Mitte vom Intervall \([0.5,0.75]\) ist \(m = 0.625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.01949<0\)
==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.75]\)
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4.) Betrachte Intervall \([0.625,0.75]\):
\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.75) \approx 0.50717>0\)
Mitte vom Intervall \([0.625,0.75]\) ist \(m = 0.6875 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.22066>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.6875]\)
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5.) Betrachte Intervall \([0.625,0.6875]\):
\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.6875) \approx 0.22066>0\)
Mitte vom Intervall \([0.625,0.6875]\) ist \(m = 0.65625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.09525>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.65625]\)
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6.) Betrachte Intervall \([0.625,0.65625]\):
\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.65625) \approx 0.09525>0\)
Mitte vom Intervall \([0.625,0.65625]\) ist \(m = 0.640625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.0366>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.640625]\)
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7.) Betrachte Intervall \([0.625,0.640625]\):
\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.640625) \approx 0.0366>0\)
Mitte vom Intervall \([0.625,0.640625]\) ist \(m = 0.6328125 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.00824>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.6328125]\)
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8.) Betrachte Intervall \([0.625,0.6328125]\):
\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.6328125) \approx 0.00824>0\)
Mitte vom Intervall \([0.625,0.6328125]\) ist \(m = 0.62890625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.0057<0\)
==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.62890625,0.6328125]\)
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9.) Betrachte Intervall \([0.62890625,0.6328125]\):
\(f(0.62890625) \approx -0.0057<0,\quad f(0.6328125) \approx 0.00824>0\)
Mitte vom Intervall \([0.62890625,0.6328125]\) ist \(m = 0.630859375 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.00125>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([0.62890625,0.630859375]\)
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Also befindet sich im Intervall \([0.62890625,0.630859375]\) mindestens eine Nullstelle. Näherungsweise Intervallmitte als Ergebnis:
\(\underline{\underline{0.6298828125}}\)
c) kannst du mit der Funktion \(g(x)=6.9^x-9^x-1\) betrachten und mal plotten lassen. Diese hat keine reelle Nullstelle. Also ist die Gleichung von c) auch nicht lösbar.