Lösung Gleichung für reelle Zahlen

Question

Aufgabe:

a.) 5.e^0,4x = 100

b.) 9^x-1 = 5.7^x

c.) 6.9^x-1= 3^2x

Problem/Ansatz:

Wie geh ich vor? Gibt es einen Trick wie man sowas schnell löst?

Answer 1

Hallo

Trick ist zuviel gesagt, man muss wissen dass der Logarithmus die Umkehrung von Exponentialfunktionen ist. meist nimmt man den ln  oder lg

1. 5*e^0,4x = 100 ln anwenden :ln(5*e^0,4x)=ln(100)  daraus ln(5)+0,4x=ln(100) noch schneller, wenn man anfangs durch 5 teilt

do wie deine 2, gl da steht kann man sie nur numerisch losen ich nehme deshalb an es ist nicht

9^x-1 = 5.7^x sondern 9^x-1=5.7^x wieder ln (oder lg ) (x-1)*ln(9)=x*ln(5,7) 

die letzte entsprechend.

Gruß lul

Comments

Wäre das letzte dann

6,9^x-1 = 3^2x

In(x-1) * In (6,9) = x* In (3^2)

?

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ja, richtig hoffentlich für immer verstanden

lul

Answer 2

Satz vom direkten Auflösen.

Enthält die Gleichung die Unbekannte nur an genau einer Stelle, kann man direkt zur Unbekannten auflösen.

5·e^(0.4·x) = 100

e^(0.4·x) = 100/5

0.4·x = LN(100/5)

x = LN(100/5)/0.4

Answer 3

Hallo, b) lässt sich nur näerungsweise lösen. Dafür kann man das ganze so umformen: \(9^x-5.7^x-1=0\) und ich definiere eine Funktion \(f(x)=9^x-5.7^x-1\) und werte sie nun auf dem Intervall \([0,1]\) aus: \(f(0)=-1, \quad f(1)=2.3\). \(f\) hat also im Bereich \([0,1]\) ein Vorzeichenwechsel. Und da \(f\) eine stetige Funktion (anschaulich gesagt sprungfrei) ist, gibt es also im Intervall \([0,1]\) eine (mindestens) Nullstelle. Die kann man nun durch verschiedene Verfahren näherungsweise berechnen, zb mit Intervallhalbierung:

1.) Betrachte Intervall \([0,1]\):

\(f(0) = -1.0<0,\quad f(1) = 2.3>0\)

Mitte vom Intervall \([0,1]\) ist \(m = 0.5 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.38747<0\)

==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.5,1]\)
----------------------------------------


2.) Betrachte Intervall \([0.5,1]\):

\(f(0.5) \approx -0.38747<0,\quad f(1) = 2.3>0\)

Mitte vom Intervall \([0.5,1]\) ist \(m = 0.75 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.50717>0\)

==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.5,0.75]\)
----------------------------------------


3.) Betrachte Intervall \([0.5,0.75]\):

\(f(0.5) \approx -0.38747<0,\quad f(0.75) \approx 0.50717>0\)

Mitte vom Intervall \([0.5,0.75]\) ist \(m = 0.625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.01949<0\)

==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.75]\)
----------------------------------------


4.) Betrachte Intervall \([0.625,0.75]\):

\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.75) \approx 0.50717>0\)

Mitte vom Intervall \([0.625,0.75]\) ist \(m = 0.6875 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.22066>0\)

==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.6875]\)
----------------------------------------


5.) Betrachte Intervall \([0.625,0.6875]\):

\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.6875) \approx 0.22066>0\)

Mitte vom Intervall \([0.625,0.6875]\) ist \(m = 0.65625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.09525>0\)

==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.65625]\)
----------------------------------------


6.) Betrachte Intervall \([0.625,0.65625]\):

\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.65625) \approx 0.09525>0\)

Mitte vom Intervall \([0.625,0.65625]\) ist \(m = 0.640625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.0366>0\)

==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.640625]\)
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7.) Betrachte Intervall \([0.625,0.640625]\):

\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.640625) \approx 0.0366>0\)

Mitte vom Intervall \([0.625,0.640625]\) ist \(m = 0.6328125 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.00824>0\)

==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.625,0.6328125]\)
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8.) Betrachte Intervall \([0.625,0.6328125]\):

\(f(0.625) \approx -0.01949<0,\quad f(0.6328125) \approx 0.00824>0\)

Mitte vom Intervall \([0.625,0.6328125]\) ist \(m = 0.62890625 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.0057<0\)

==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.62890625,0.6328125]\)
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9.) Betrachte Intervall \([0.62890625,0.6328125]\):

\(f(0.62890625) \approx -0.0057<0,\quad f(0.6328125) \approx 0.00824>0\)

Mitte vom Intervall \([0.62890625,0.6328125]\) ist \(m = 0.630859375 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.00125>0\)

==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

==> Das ergibt das neue Intervall \([0.62890625,0.630859375]\)
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Also befindet sich im Intervall \([0.62890625,0.630859375]\) mindestens eine Nullstelle. Näherungsweise Intervallmitte als Ergebnis:
\(\underline{\underline{0.6298828125}}\)

c) kannst du mit der Funktion \(g(x)=6.9^x-9^x-1\) betrachten und mal plotten lassen. Diese hat keine reelle Nullstelle. Also ist die Gleichung von c) auch nicht lösbar.