Differenzierbarkeit nachweisen und ableiten. g: x -> (x^2)*cos(1/x) für x ≠ 0 und x -> 0 für x=0

Question

Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \) gegeben durch
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right),} & {x \neq 0} \\ {0,} & {x=0} \end{array}\right. $$
in jedem Punkt differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. Skizzieren Sie die Funktion. Ist \( f \) stetig differenzierbar?

Hinweis: Im Punkt 0 müssen Sie den Differentialquotienten berechnen. Welche Nullstellen hat \( f ? \)

Ansatz:

Ich soll für folgende Funktion zeigen dass sie in jedem Punkt differenzierar ist und sie dann ableiten.

g: x → (x^2)*cos(1/x) für x ungleich 0

und x → 0 für x=0

Comments

Wenn du für die Fälle x > 0 und x < 0 die Ableitungen bestimmen kannst und da keine undefinierten Stellen auftreten ist die Funktion stetig diffbar.

Du solltest zumindest an der Stelle x0=0 noch genauer hinschauen. Steht aber auch im Hinweis.

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was wäre ein passendes intervall um die funktion zu plotten?

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Der graph f(x) hat die lösungsmenge {0} wenn man für x 0 einsetzt also wäre y (hier f(x) ) 0

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Meiner Meinung nach ist f'(0) = 0, weil $$f'(0) = \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ f(x) - f(0) }{ x - 0 } = 0$$, da f in x = 0 auch stetig ist.

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Die Aufgabe wurde vor ein paar Tagen schon vorgerechnet. Hoffe, dass du sie über die Suche finden kannst.

ähnlich ist die hier: https://www.mathelounge.de/84022/funktion-f-x-cos-1-x-und-g-x-x-cos-1-x-auf-stetigkeit-untersuchen

Aber die gleiche gibt's auch irgendwo.

Answer 1

Vermutlich meinst du

$$g: x \mapsto \begin{cases} \begin{array}{ll}x^2\cos\left(\frac1x\right)&\text{, falls }x\neq0\\0&\text{, falls }x=0.\end{array} \end{cases}$$

Die Funktion \(g\) ist offensichtlich differenzierbar für \(x\neq0\). Für \(x=0\) betrachte den Differenzenquotienten

$$\frac{g(0+h)-g(0)}h=\frac{h^2\cos\left(\frac1h\right)-0}h=h\cos\left(\frac1h\right).$$Wegen \(\lim\limits_{h\to0}h\cos\left(\frac1h\right)=0\), ist \(g\) auch differenzierbar in \(x=0\) und es gilt

$$g'(x)= \begin{cases} \begin{array}{ll}2x\cos\left(\frac1x\right)+\sin\left(\frac1x\right)&\text{, falls }x\neq0\\0&\text{, falls }x=0.\end{array} \end{cases}$$

Beachte, dass \(g'\) in \(x=0\) nicht stetig ist.

Answer 2

   g ( x )  =  x ²  * cos ( 1 / x )

   Wie du selbst schon geschrieben hast ist die Funktion für x = 0 nicht definiert.
Division durch null. Damit ist sie " nicht stetig ". Somit ist sie auch " nicht differenzierbar ".
Dies ist  bereits schon der Beweis.

  1.Ableitung ( Produkt- und Kettenregel )
  g ´( x ) =  2 * x * cos ( 1 / x ) + x^2 * ( -sin( 1 / x )) *  ( - 1/ x^2 )
  g ´( x ) =  2 * x * cos ( 1 / x ) + sin ( 1 / x )

  Zitat " und x -> 0 für x=0 " : dies ist nichts mathematisch Sinnvolles.

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  mfg Georg