Question

Aufgabe: Welche Punkte der Geraden G haben von der Geraden H einen Abstand von höchstens 15?

Problem/Ansatz:

Gegeben sind die Geraden G und H in Parameterform:

G:x= (5/15/5/)+r×(1/-1/2)

H:x= (2/-1/4) + s×(2/2/-1)

Kann mir da bitte jemand weiter helfen? Vielen Dank schon mal!

LG

Answer 1

Hallo Phil,

Willkommen in der Mathelounge!

es gibt doch diese Formel für den Abstand \(d\) eines Punktes \(P\) von einer Geraden \(x= H_0 + s h\), wenn \(h\) der Richtungsvektor der Geraden \(H\) ist$$d = \frac{|(P - H_0) \times h|}{|h|} $$nun liegt \(P\) aber auf der Geraden \(G\), und somit ist$$P = G_0 + r g$$mit \(g\) als Richtungsvektor von \(G\). Und das Resultat soll kleiner gleich 15 sein:$$\frac{|(G_0 + r g - H_0) \times h|}{|h|} \le 15\\ ((G_0-H_0) \times h + r(g \times h))^2 \le 15^2 \cdot h^2$$nach dem Quadrieren bekommst Du eine quadratische Ungleichung für die Variable \(r\) mit der Lösung \(-4\le r \le 5\). Im Bild sieht das so aus:

(klick auf das Bild)

Einsetzen von \(r\) in \(G\) liefert Dir den Bereich der Punkte, die höchstens 15 von \(H\) entfernt sind.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Hallo Werner-Salomon,

Vielen Dank für die unglaublich schnelle Antwort!

Die ersten Schritte leuchten mir ein. Warum wird als nächster Schritt dann aber quadriert und wie sind Sie auf die Lösungen für r gekommen?

Mit freundlichen Grüßen

Philip

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Warum wird als nächster Schritt dann aber quadriert

In der ursprünglichen Gleichung stehen Beträge von Vektoren. Und den Betrag \(|v|\) eines Vektors \(v\) berechnet man über $$|v| = \sqrt{v^2}$$Die Wurzel kann man anschließend weg lassen, da man anschließend ohnehin die Ungleichung quadrieren müsste, um zur Lösung zur kommen.

... und wie sind Sie auf die Lösungen für r gekommen?

das ist eine quadratische Gleichung. Es ist$$(G_0-H_0) \times h = \begin{pmatrix}-18\\ 5\\ -26\end{pmatrix} \\ g \times h = \begin{pmatrix}-3\\ 5\\ 4\end{pmatrix} $$dann ist$$((G_0-H_0) \times h + r(g \times h))^2 = 1025 -50 r +50r^2$$die rechte Seite ist$$15^2 \cdot h^2 = 2025$$Das führt dann zu$$\begin{aligned}1025 -50 r +50r^2 &\le 2025 \\ r^2 -r -20 &\le 0 \\ \left( r - \frac 12\right)^2 &\le \left(\frac{9}2\right)^2 \\ \implies -4 \le r &\le 5\end{aligned}$$

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das ist eine quadratische Gleichung. Es ist ....

Wie kann bei dieser Rechnung und der danach ein Vektor als Ergebnis raus kommen, wenn ja mit dem Skalarprodukt gerechnet wird? Oder soll da ein Kreuzprodukt gebildet werden? Beim Kreuzprodukt von g und h komme ich allerdings auf (5/3/0) und nicht auf (-3/5/4).

Und nur damit ich es richtig verstehe: mit z.B. G₀ meinen Sie den Ortsvektor von der Geraden G oder?

die rechte Seite ist..

Welche rechte Seite meinen Sie hier?

Nochmals vielen Dank für die Erklärungen!

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.. wenn ja mit dem Skalarprodukt gerechnet wird? Oder soll da ein Kreuzprodukt gebildet werden?

'\(\times\)' steht für das Kreuzprodukt. Wenn es das Skalarprodukt wäre, macht ja schon die Eingangsgleichung \(d = \frac{|(P - H_0) \times h|}{|h|} \) keinen Sinn.

Beim Kreuzprodukt von g und h komme ich allerdings auf (5/3/0) und nicht auf (-3/5/4).

$$\begin{aligned} g \times h &= \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\ 2\\ -1\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2\\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot(-1)\\ 1 \cdot 2 - (-1)\cdot2\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-3\\ 5\\ 4\end{pmatrix} \end{aligned}$$siehe auch hier oder bei Matheretter.

mit z.B. G0 meinen Sie den Ortsvektor von der Geraden G oder?

Ja richtig:$$G_0 = \begin{pmatrix}5\\ 15\\ 5\end{pmatrix}, \quad H_0 = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 4\end{pmatrix}$$

Welche rechte Seite meinen Sie hier?

die rechte Seite dieser Ungleichung:$$((G_0-H_0) \times h + r(g \times h))^2 \le \underbrace{15^2 \cdot h^2}_{\text{rechte Seite}}$$

Du kannst die Aufgabe auch nur mit dem Skalarprodukt \(a^Tb\) lösen, indem man den Fußpunkt \(F\) eines Punktes \(P\) auf der Geraden \(H\) berechnet:$$F = H_0 + \frac h{|h|} \cdot \frac{h^T(P-H_0)}{|h|}$$und der Abstand \(d\) von einemPunkt \(P\) zur Geraden \(G\) ist dann$$\begin{aligned}d &= |P-F| \\&= \left| P-H_0 -  h\frac{h^T(P-H_0)}{h^2}\right|\end{aligned}$$\(P\) liegt auf \(G\) also $$P = G_0 + r g$$das oben einsetzen$$d = \left| G_0 + r g-H_0 - h\frac{h^T(G_0 + r g-H_0)}{h^2}\right| \le 15$$Das ist aber IMHO rein nummerisch aufwendiger.