Wie müssen a, b und c nun gewählt werden, dass die Funktion f an der Stelle x=0 differenzierbar ist?

Question

Ich habe eine Funktion gegeben

Für x<0 ist f(x) = -8|x+2| und für x>= 0 ist f(x) = ax^2+bx+c

Wie müssen a, b und c nun gewählt werden, dass die Funktion f an der Stelle x=0 differenzierbar ist?

Ich weiß leider gar nicht wie ich das machen muss.

Answer 1

linke Seite ( Gerade )
f (x) = -8 * |x+2|
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2 gilt f ( x ) = -8 * ( x + 2 )
f ( 0 ) = -16
f ´( x ) = [ -8 * ( x + 2 ) ]
f ´( 0 ) = -8
An der Nahtstelle
f ( 0 ) = -16
f ´ ( 0 ) = -8

y = -8 * x -16

rechte Seite
f ( x ) = a*x^2 + bx + c Parabel )
f ( 0 ) = a * 0^2 + b*0 + c = -16  => c = -16
f ( x ) = a*x^2 + bx -16 Parabel
f ´( x ) = 2ax + b
f ´( 0 ) = 2a*0 + b = -8  => b = -8

f ( x ) = a*x^2  -8*x + -16

Kann a beliebig gewählt werden ?

Comments

In der Aufgabenstellung stehen keine weiteren Vorgaben. Also gehe ich davon aus, dass das a beliebig gewählt werden kann. Aber müsste das a nicht 0 sein, weil die linke und die rechte Seite übereinstimmen müssen?

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Ich habe mir gerade den Graph einmal
malen lassen.
rot : a = 1
grün a = 2
a kann beliebig sein.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst mit einer Fallunterscheidung bei \(x=-2\) zunächst die Betragszeichen auflösen$$x<-2\implies x+2<0\implies|x+2|=-(x+2)\implies -8|x+2|=8(x+2)$$$$x\ge-2\implies x+2\ge0\implies|x+2|=(x+2)\implies -8|x+2|=-8(x+2)$$und die Funktion wie folgt angeben:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}8x+16 & \text{falls} & x<-2\\-8x-16 &\text{falls} &-2\le x<0\\ax^2+bx+c&\text{falls}&x\ge0\end{array}\right.$$

Wenn die Funktion \(f(x)\) bei \(x=0\) differenzierbar sein soll, muss sie dort stetig sein. Wenn wir uns von der Stelle \(x=0\) von links nähern, gilt:$$\lim\limits_{x\nearrow0} f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}(-8x-16)=-16$$Wenn wir uns der Stelle \(x=0\) von rechts nähern, gilt:$$\lim\limits_{x\searrow0} f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}(ax^2+bx+c)=c$$Da beide Grenzwerte gleich sein sollen, muss \(c=-16\) gelten.

Bei \(x=0\) müssen auch die links- und die rechtsseitige Ableitung gleich sein:$$x<0\implies f'(x)=-8\implies f'(0)=-8$$$$x\ge0\implies f'(x)=2ax+b\implies f'(0)=b$$Also muss \(b=-8\) sein.

Die Gerade \(-8x-16\) für \(x\in[-2;0)\) muss sozusagen über \(x=0\) hinaus "verlängert" werden, wobei noch ein beliebiger quadratischer Anteil \(ax^2\) dazu kommen darf:$$f(x)=ax^2-8x-16\quad\text{für}\quad x\ge0\quad;\quad a\in\mathbb R\text{ beliebig}$$

~plot~ -8*abs(x+2)*(x<0) ; (3x^2-8x-16)*(x>=0) ; {0|-16}; [[-3|4|-22|0]] ~plot~