Aloha :)
Du kannst mit einer Fallunterscheidung bei \(x=-2\) zunächst die Betragszeichen auflösen$$x<-2\implies x+2<0\implies|x+2|=-(x+2)\implies -8|x+2|=8(x+2)$$$$x\ge-2\implies x+2\ge0\implies|x+2|=(x+2)\implies -8|x+2|=-8(x+2)$$und die Funktion wie folgt angeben:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}8x+16 & \text{falls} & x<-2\\-8x-16 &\text{falls} &-2\le x<0\\ax^2+bx+c&\text{falls}&x\ge0\end{array}\right.$$
Wenn die Funktion \(f(x)\) bei \(x=0\) differenzierbar sein soll, muss sie dort stetig sein. Wenn wir uns von der Stelle \(x=0\) von links nähern, gilt:$$\lim\limits_{x\nearrow0} f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}(-8x-16)=-16$$Wenn wir uns der Stelle \(x=0\) von rechts nähern, gilt:$$\lim\limits_{x\searrow0} f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}(ax^2+bx+c)=c$$Da beide Grenzwerte gleich sein sollen, muss \(c=-16\) gelten.
Bei \(x=0\) müssen auch die links- und die rechtsseitige Ableitung gleich sein:$$x<0\implies f'(x)=-8\implies f'(0)=-8$$$$x\ge0\implies f'(x)=2ax+b\implies f'(0)=b$$Also muss \(b=-8\) sein.
Die Gerade \(-8x-16\) für \(x\in[-2;0)\) muss sozusagen über \(x=0\) hinaus "verlängert" werden, wobei noch ein beliebiger quadratischer Anteil \(ax^2\) dazu kommen darf:$$f(x)=ax^2-8x-16\quad\text{für}\quad x\ge0\quad;\quad a\in\mathbb R\text{ beliebig}$$
~plot~ -8*abs(x+2)*(x<0) ; (3x^2-8x-16)*(x>=0) ; {0|-16}; [[-3|4|-22|0]] ~plot~