Anfangswertproblem lösen und maximales Intervall bestimmen

Question

Aufgabe:

Folgendes Anfangswertproblem lösen und ein maximales Intervall auf dem die Lösung definiert ist, bestimmen:

\( y^{2} \) \( y^{'} \) + \( x^{2} \) =1, y(1) = \( \sqrt[3]{4} \)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe? Kann mir das bitte einer Schritt für Schritt erklären?

Ich habe noch weitere solcher Aufgaben und möchte die anderen selbst versuchen. Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen:

das bedeutet, bringe alles mit y auf die eine Seite, alles mit x auf die andere Seite

y^2 y'+x^2=1

y^2 y' =1 -x^2 ; y'=dy/dx

y^2  *dy/dx  =1 -x^2 |*dx

y^2  *dy =(1 -x^2 )dx

y^3/3 = x -x^3/3 +C₁

\( y=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+3C_{1}} \)

-die AWB einsetzen y(1)= \( 4^{\frac{1}{3}} \)

Setze y = \( 4^{\frac{1}{3}} \) und x= 1 in die allgemeine Lösung ein:

Löse nach C auf und setze C in die allgemeine Lösung ein.

\( y=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+2} \)

maximales Intervall auf dem die Lösung definiert ist, bestimmen:

Das ist der Definitionsbereich der Lösung der DGL

\( \{x \in \mathbb{R}; x \leq 2\} \)

Comments

Hallo,

mach nicht auch x=-1 Probleme?

Gruß