Sei V ein Vektorraum über einem Körper k der Dimension ...

Question

30. Sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \) der Dimension \( n \geq 3 \), sei \( U \subsetneq V \) ein echter Unterraum. Zeige: Es gibt eine Basis \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) von \( V \) mit \( v_{1} \notin U \) für alle \( i=1, \ldots, n \)

31. Sei \( U \subset V \) Unterraum eines endlich-dimensionalen \( K \) -Vektororraumes \( V \) über einem Körper \( K \). Zeige: Es existiert eine surjektive \( K \) - lineare Abbildung \( \pi: V \longrightarrow U \) mit \( \pi(u)=u \) für alle \( u \in U \)

Comments

Ist 30. so vollständig? auf was bezieht sich 'für alle i=1,2,...,n'.

auf 'v1' wäre etwas erstaunlich.

31. π könnte eine Projektion sein.

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ja bsp 30 ist vollständig. ich denke es bezieht sich auf die basis.


hmm projektion.... werds mal weiterversuchen. danke!

Answer 1

In Aufgabe 30. muss es \(v_i\notin U\) für alle \(i=1,\cdots,n\) heißen.
In beiden Aufgaben geht es um die Nutzung des Basisergänzungssatzes.

Zu 30.:

Sei \(u_1,\cdots,u_k\) mit \(k\lt n\) eine Basis von \(U\).

Wir ergänzen diese duch \(v_{k+1},\cdots,v_n\) zu einer Basis

\(u_1,\cdots,u_k,v_{k+1},\cdots,v_n\) von \(V\).

Für \(i=1,\cdots,k\) definieren wir nun \(v_i=u_i+v_{k+1}\).

Dann ist offenbar auch

\(v_1,\cdots,v_n\) eine Basis von \(V\), wobei nach Konstruktion

\(v_i\notin U\) für alle \(i=1,\cdots,n\) gilt.

Zu 31.:

Sei \(v_1,\cdots,v_k\) eine Basis von \(U\).

Wir ergänzen diese zu einer Basis \(v_1,\cdots,v_n\) von \(V\).

Man definiere nun \(\pi\) durch die Bilder dieser Basisvektoren:

\(\pi(v_i)=v_i, \quad\) falls \(1\leq i\leq k\) und

\(\pi(v_i)=0, \quad\) falls \(k+1\leq i \leq n\).