Sei V ein Vektorraum über einem Körper k der Dimension ...

Question

30. Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ der Dimension $n \geq 3$, sei $U \subsetneq V$ ein echter Unterraum. Zeige: Es gibt eine Basis $v_{1}, \ldots, v_{n}$ von $V$ mit $v_{1} \notin U$ für alle $i=1, \ldots, n$

31. Sei $U \subset V$ Unterraum eines endlich-dimensionalen $K$ -Vektororraumes $V$ über einem Körper $K$. Zeige: Es existiert eine surjektive $K$ - lineare Abbildung $\pi: V \longrightarrow U$ mit $\pi(u)=u$ für alle $u \in U$

Comments

Ist 30. so vollständig? auf was bezieht sich 'für alle i=1,2,...,n'.

auf 'v1' wäre etwas erstaunlich.

31. π könnte eine Projektion sein.

---

ja bsp 30 ist vollständig. ich denke es bezieht sich auf die basis.


hmm projektion.... werds mal weiterversuchen. danke!

Answer 1

In Aufgabe 30. muss es $v_i\notin U$ für alle $i=1,\cdots,n$ heißen.
In beiden Aufgaben geht es um die Nutzung des Basisergänzungssatzes.

Zu 30.:

Sei $u_1,\cdots,u_k$ mit $k\lt n$ eine Basis von $U$.

Wir ergänzen diese duch $v_{k+1},\cdots,v_n$ zu einer Basis

$u_1,\cdots,u_k,v_{k+1},\cdots,v_n$ von $V$.

Für $i=1,\cdots,k$ definieren wir nun $v_i=u_i+v_{k+1}$.

Dann ist offenbar auch

$v_1,\cdots,v_n$ eine Basis von $V$, wobei nach Konstruktion

$v_i\notin U$ für alle $i=1,\cdots,n$ gilt.

Zu 31.:

Sei $v_1,\cdots,v_k$ eine Basis von $U$.

Wir ergänzen diese zu einer Basis $v_1,\cdots,v_n$ von $V$.

Man definiere nun $\pi$ durch die Bilder dieser Basisvektoren:

$\pi(v_i)=v_i, \quad$ falls $1\leq i\leq k$ und

$\pi(v_i)=0, \quad$ falls $k+1\leq i \leq n$.