berechnen Sie das Volumen des Rotationskörper um y Achse

Question

Aufgabe: Rotation um Y-Achse

f(x)=0.25x^2 und g(x)=1

berechnen Sie das Volumen des Rotationskörper!

Problem/Ansatz:

Meine Resultat ich hab

Schnittpunkt ausgerechnet (-2;2)

Nullpunkte (0/0)

V(g)= 1e^3

V(f)=6.28e^3

V=V(g)-V(f)=5,28e^3

nun weiß ich nicht ob das stimmt habe auch keine Lösungsheft zum vergleichen

Answer 1

Formel allgemein ist $$V = π \cdot \int \limits_{y_1}^{y_2} x^2 dy $$

Bei dir ist y1=0 und y2=1 und aus y = 0,25x^2 machst du 4y = x^2

also  $$π \cdot \int \limits_{0}^{1} 4y dy = π \cdot [2y^2]_0^1=2 π$$

Comments

danke für deine rasche Antwort!

Wie kommst du auf 4y=x^2

wenn ich y=0,25x^2 umkehre

y=0,25x^2

\( \frac{y}{0,25} \)=x^2 /*\( \sqrt{} \)

\( \sqrt{\frac{y}{0.25}} \)=x

x=2

---

Wie kommst du auf 4y=x^2  wegen y = 0,25x^2 | *4

                                             <=>    4y = x^2

---

check ich nicht

Answer 2

Aloha :)

Da wir den Schnittpunkt \((2|1)\) bereits kennen, würde ich gar nicht über \(y\in[0;1]\) integrieren, sondern die Bildung der Umkehrfunktion sparen und stattdessen über \(x\in[0;2]\) integrieren. Dazu substituieren wir so:

$$V=\int\limits_{0}^{1}\pi x^2\,dy=\int\limits_{0}^{2}\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_0^2\pi x^2f'(x)\,dx=\int\limits_0^2\pi x^2\,\frac{x}{2}\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_0^2\frac{\pi x^3}{2}\,dx=\left[\frac{\pi x^4}{8}\right]_0^2=2\pi$$

Comments

Super danke !

wie schaut's mit Volumenberechnung aus in dem Fall habe ich ja zwei Funktionen.

ich muss ja die Flächen addieren oder subtrahieren damit ich den gesamt Volumen erhalte.

V(gesamt)= V(y)-V(g)

damit habe ich auch Probleme

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Wir haben Kreise mit dem Radius \(\pi\,x^2\) entlang der \(y\)-Achse addiert. Das heißt, wir haben das Volumen innerhalb der "Tasse" berechnet. Lass dich durch die Gerade \(g(x)=1\) nicht irritieren, das ist die Angabe der Obergrenze, damit du weißt, dass \(y\) von \(0\) bis \(1\) laufen muss, bzw. \(x\) von \(0\) bis \(2\).

~plot~ 0,25x^2 ; 1 ; [[-3|3|0|1,5]] ~plot~

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ok danke verstehe aber ich möchte generell wissen was Ausschlag gebend ist.

Woran erkenne ich ob ich jetzt die gesamt Fläche subtrahieren oder addieren muss.

zb.: f(x)=\( \frac{x^{2}}{2} \)  g(x)=4-x rotation um Y-Achse

Nullstelle: f(x)=0 g(x)=4

Schnittpunkt  x=-4 x=2

oder

den selben Funktion

f(x)=\( \frac{x^{2}}{2} \)  g(x)=4-x rotation um die x-Achse

Nullstelle f(x)=0.707.  g(x)=4

Schnittpunkt x=-4; x=2