berechnen Sie das Volumen des Rotationskörper um y Achse

Question

Aufgabe: Rotation um Y-Achse

f(x)=0.25x² und g(x)=1

berechnen Sie das Volumen des Rotationskörper!

Problem/Ansatz:

Meine Resultat ich hab

Schnittpunkt ausgerechnet (-2;2)

Nullpunkte (0/0)

V(g)= 1e³

V(f)=6.28e³

V=V(g)-V(f)=5,28e³

nun weiß ich nicht ob das stimmt habe auch keine Lösungsheft zum vergleichen

Answer 1

Formel allgemein ist $$V = π \cdot \int \limits_{y_1}^{y_2} x^2 dy$$

Bei dir ist y1=0 und y2=1 und aus y = 0,25x² machst du 4y = x²

also  $$π \cdot \int \limits_{0}^{1} 4y dy = π \cdot [2y^2]_0^1=2 π$$

Comments

danke für deine rasche Antwort!

Wie kommst du auf 4y=x²

wenn ich y=0,25x² umkehre

y=0,25x²

$\frac{y}{0,25}$=x^2 /*$\sqrt{}$

$\sqrt{\frac{y}{0.25}}$=x

x=2

---

Wie kommst du auf 4y=x²  wegen y = 0,25x² | *4

                                             <=>    4y = x²

---

check ich nicht

Answer 2

Aloha :)

Da wir den Schnittpunkt $(2|1)$ bereits kennen, würde ich gar nicht über $y\in[0;1]$ integrieren, sondern die Bildung der Umkehrfunktion sparen und stattdessen über $x\in[0;2]$ integrieren. Dazu substituieren wir so:

$$V=\int\limits_{0}^{1}\pi x^2\,dy=\int\limits_{0}^{2}\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_0^2\pi x^2f'(x)\,dx=\int\limits_0^2\pi x^2\,\frac{x}{2}\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_0^2\frac{\pi x^3}{2}\,dx=\left[\frac{\pi x^4}{8}\right]_0^2=2\pi$$

Comments

Super danke !

wie schaut's mit Volumenberechnung aus in dem Fall habe ich ja zwei Funktionen.

ich muss ja die Flächen addieren oder subtrahieren damit ich den gesamt Volumen erhalte.

V(gesamt)= V(y)-V(g)

damit habe ich auch Probleme

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Wir haben Kreise mit dem Radius $\pi\,x^2$ entlang der $y$-Achse addiert. Das heißt, wir haben das Volumen innerhalb der "Tasse" berechnet. Lass dich durch die Gerade $g(x)=1$ nicht irritieren, das ist die Angabe der Obergrenze, damit du weißt, dass $y$ von $0$ bis $1$ laufen muss, bzw. $x$ von $0$ bis $2$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 0,25x²f₂(x) = 1Zoom: x(-3…3) y(0…1,5)

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ok danke verstehe aber ich möchte generell wissen was Ausschlag gebend ist.

Woran erkenne ich ob ich jetzt die gesamt Fläche subtrahieren oder addieren muss.

zb.: f(x)=$\frac{x^{2}}{2}$  g(x)=4-x rotation um Y-Achse

Nullstelle: f(x)=0 g(x)=4

Schnittpunkt  x=-4 x=2

oder

den selben Funktion

f(x)=$\frac{x^{2}}{2}$  g(x)=4-x rotation um die x-Achse

Nullstelle f(x)=0.707.  g(x)=4

Schnittpunkt x=-4; x=2