Aloha :)
Die Vektoren \(\vec a_i\) bilden hier ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS), das heißt, sie haben alle die Länge \(1\) und stehen paarweise senkrecht zueinander. Formal gilt:$$\left<\vec a_i\,|\,\vec a_k\right>=\delta_{ik}=\left\{\begin{array}{c}1 &\text{falls}& i=k\\0 &\text{falls}&i\ne k\end{array}\right.$$
Damit wird dann aus deiner Summe:
$$\sum\limits_i\left<\vec b\,|\,\vec a_i\right>\left<\vec a_i\,|\,\vec a_k\right>=\sum\limits_i\left<\vec b\,|\,\vec a_i\right>\delta_{ik}=\sum\limits_{i\ne k}\left<\vec b\,|\,\vec a_i\right>\underbrace{\delta_{ik}}_{=0}+\left<\vec b\,|\,\vec a_k\right>\underbrace{\delta_{kk}}_{=1}=\left<\vec b\,|\,\vec a_k\right>$$
Formal kannst du dir merken, dass in einem VONS gilt:$$\sum\limits_i\left|\vec a_i\right>\left<\vec a_i\right|=1$$
