newtonverfahren näherungsverfahren

Question

Aufgabe: X0= 1-arctan(1)/ 1/1+1^2= -0,571

…

Problem/Ansatz: Hallo , bei dieser aufgabe geht es um das Newton verfahren ich komme nicht auf die -o,571

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Das kann man nicht lesen: X0= 1-arctan(1)/ 1/1+12= -0,571

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ich vermute, dass Du mit dem Newtonverfahren die Nullstelle von \(f(x)=\arctan(x)\) finden sollst. Die Näherungsgleichung wäre dann$$\begin{aligned}x_{n+1} &= x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{\arctan(x_n)}{\frac 1{1+x_n^2}} \\&= x_n - (1+x_n^2) \cdot \arctan(x_n)\end{aligned}$$Beginnt man bei einem Startwert von \(x_0=1\), ergeben sich folgende Werte$$\begin{array}{rrr}x& f(x)& f'(x)\\ \hline1& 0.785& 0.5\\ -0.571& -0.519& 0.754\\ 0.117& 0.116& 0.987\\ -0.001& -0.001& 1.000\\ 0.000& 0.000& 1\end{array}$$was auch nicht anders zu erwarten war, denn \(\arctan(0)=0\).

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danke, das war gut erklärt

Answer 1

X0= 1-arctan(1)/ 1/1+12 = -0,571

Ich nehme an es soll heißen
1 - arctan(1) / 1 / (1+12)
= 0.9395847567
( Klammerung geändert )
Willst du einfach nur den Wert ausrechnen ?
Dazu braucht es kein Newton-Verfahren

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es heißt 1 - arctan (1) / 1/1+1^2= - 0,571

kannst du erklären wie man die klammer verändert

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es heißt 1 - arctan (1) / 1/1+1²= - 0,571
kannst du erklären wie man die klammer verändert

nicht verändern! Man muss Klammern setzen. Es geht Punktrechnung vor Strichrechnung - z.B. Division vor Addition. Also

1/1 + 1^2 = 1 +1 = 2   erst dividieren dann addieren

Aber

1/(1+1^2) = 1/(1+1) = 1/2 = 0,5

erst die Klammern, dann der Rest. Dein Ausdruck ist dann wahrscheinlich

1 - arctan (1) / (1/(1+1^2)) = -0,571

Answer 2

Hallo,

das Setzen von Klammern scheint irgendwie aus der Mode gekommen sein. Aber ohne Klammern ist es 'ne Raterei.

X0= 1-arctan(1)/ 1/1+1²= -0,571

Meine Kristallkugel zeigt mir folgendes$$\begin{aligned}1 - \frac{\arctan(1)}{\frac 1{1+1^2}} &= 1- \frac{\arctan(1)}{\frac 1{2}} \\&= 1-2\arctan(1) \\&= 1 - 2\cdot \frac{\pi}4 \\ &= 1 - \frac{\pi}2 \\&\approx 1 - \frac{22}{2 \cdot 7} \approx -0,571\end{aligned}$$

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Braucht man nicht mehr, nur schade dass die Klammerveränderungs-App abgestützt ist ;-)

und den Newton gleich mitgenommen hat...

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:-) ... wie konnten wir bloß ohne App, I-Net & Forum Mathe lernen. Ich werde das Gefühl nicht los, wir konnten es, eben weil es weder Apps, I-Net noch Foren gegeben hat.

Diese Aufgabe konnten wir auch ohne Taschenrechner!

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wie kommst du auf die pi /4

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Hallo Werner,
zunächst einmal meinen Glückwunsch zu
deiner Intuition zur Berichtigung des Terms.
kleiner F-hlerhinweis
- 0.157 stimmt nicht ganz
( Zahlendreher )

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- 0.157 stimmt nicht ganz ( Zahlendreher )

Danke für den Hinweis - habe ich korrigiert

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wie kommst du auf die pi /4

Der Tangens von 45° ist 1. Bei 45° sind die Gegenkathete und Ankathete im rechtwinkligen Dreieck gleich groß - also$$\tan 45° = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = 1$$also ist umgekehrt$$\arctan (1) = 45°$$und \(45°\) im Bogenmass ist \(\pi/4\), der achte Teil eines Kreises. Der Vollkreis ist \(2\pi\) bzw. \(360°\)

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wenn ich für x1= - 0,571 arctan(- 0,571) / 1/1+(-0,571^2)= 0,117

icch weiß nicht wie man die klammer umstellt

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ich weiß nicht wie man die klammer umstellt

wenn das so ist, dann hast Du ein ziemlich großes Verständnisproblem. Du solltest Dir da Hilfe besorgen. Hier über das Forum lässt sich das schwer beibringen.

Der Ausdruck für beliebige \(x\) ist doch

(x) - arctan(x)/(1/(1+(x)²))

ich habe nun ein paar Klammern mehr als notwendig gemacht. Jetzt kannst Du für das \(x\) die Zahlenwerte eintragen. Für x=-0,571:

(-0,571) - arctan(-0,571)/(1/(1+(-0,571)²))

es ist einfacher, wenn Du vorher noch den Bruch umstellst. Dazu erweitert man den Bruch mit (1+x²)

(x) - arctan(x)/(1/(1+(x)²)) = (x) - (1+(x)²)*arctan(x)