Seien K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum. Sei n = dim(V) . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(i) Die Zahl n ist gerade.

(ii) Es existiert ein Endomorphismus von mit f V Ker(f) = Im(f) .
Problem/Ansatz:

i)⇒ii)

Sei n gerade Sei und $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) .$$ Es gilt $$\operatorname{Kern}(f)=\operatorname{Bild}(f)=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle .$$

Also existiert ein Endormophismus mit kern(f)=im(f)

ii)⇒i)

Sei f ein Endomorphismus von V mit ker(f)=im(f)

Laut der Dimensionformel für lineare Abbildungen gilt
n = dim(V ) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = 2*dim(Kern(f)):
Also ist n gerade. q.e.d

Ich wollte fragen, ob man den Beweis so oder so ähnlich stehen lassen kann und würde mich über Verbesserungen freuen. Danke.

Answer 1

\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) .\)

Du gehst hier davon aus, dass \(n=2\) ist, dass \(K = \mathbb{R}\) ist, und dass \(V = K^n\) ist. Nichts davon steht in den Voraussetzungen.

Stattdessen: Sei \((b_1,\dots,b_n)\) eine Basis von \(V\). Sei \(f:V\to V\) linear mit

• \(f(b_i) = b_{i+1}\) für alle ungeraden \(i\)
  
• \(f(b_i) = 0\) für alle geraden \(i\)

Die andere Richtung ist in Ordnung.

Comments

Danke das ist hilfreich. Wie würde man das als Menge aufschreiben? Etwa so:

$$\operatorname{Im}f=\ker f=\{(b_{n})\,|n=gerade\}.$$

Eventuell gibt es eine bessere schreibweise?

---

{(bn)∣n=gerade}

Das \(n\) hat schon außerhalb der Mengenklammern eine Bedeutung, nämlich "Dimension von V". Deshalb solltest du dem \(n\) nicht innerhalb der Mengenklammern eine neue Bedeutung geben.

        \(\ker f = \left\langle\{b_i \in \{b_1,\dots,b_n\} | i \text{ ist gerade}\}\right\rangle\)

Beachte auch, dass der Kern nicht aus den entsprechenden Vektoren aus \(\{b_1,\dots,b_n\}\) besteht, sondern aus deren Erzeugnis.