Aloha :)
Endlich mal eine etwas interessantere Aufgabe. Vielen Dank dafür... \o/$$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\implies\quad x+y=?$$
Wir substituieren die erste Klammer durch \(u\) und versuchen, die Gleichung nach \(y\) umzustellen:
$$\left.\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\right|u\coloneqq\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$$$\left.u\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\right|:\,u$$$$\left.y+\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{u}\quad\right|-y$$$$\left.\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{u}-y\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.1+y^2=\frac{1}{u^2}-\frac{2y}{u}+y^2\quad\right|-y^2$$$$\left.1=\frac{1}{u^2}-\frac{2y}{u}\quad\right|+\frac{2y}{u}-1$$$$\left.\frac{2y}{u}=\frac{1}{u^2}-1\quad\right|\cdot\frac{u}{2}$$$$\left.y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}-u\right)\quad\right.$$
Bevor wir \(u\) wieder einsetzen, bestimmen wir noch den Kehrwert:$$\frac{1}{u}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(\sqrt{1+x^2})^2}=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(1+x^2)}=\sqrt{1+x^2}-x$$Damit gehen wir zurück in die Lösung \(y(u)\):$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}-u\right)=\frac{1}{2}\left((\sqrt{1+x^2}-x)-(x+\sqrt{1+x^2})\right)=\frac{1}{2}(-2x)=-x$$$$x+y=0$$Die Summe der beiden Variablen ist also gleich \(0\).
