Wie wurde hier der Grenzwert berechnet?

Question

Aufgabe:

Wie wurde hier der Grenzwert berechnet?

\( \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{|2n^3-2|3^n}{17n^2+5}}=3 \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, wie man umformen muss, sodass 3 als Grenzwert herauskommt.

Answer 1

\( \sqrt[n]{\frac{2n^3-2}{17n^2+5}} \)·\( \sqrt[n]{3^n} \). Für n→∞ kann der erste Faktor \( \sqrt[n]{n} \) ersetzt werden und der zweite Faktor ist 3.

Comments

\( \sqrt[n]{3^n} \)=3, dann muss der erste Faktor gegen 1 gehen, aber erkenne das nicht. Könntest da mir den Rechenweg zeigen, wie du darauf kommst? Bzw. warum kann der erste Faktor ersetzt werdenn nur weil n gegen unendlich geht?

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\({\frac{2n^3-2}{17n^2+5}} \)=\( \frac{2n-\frac{2}{n^2}}{17+\frac{5}{n^2}} \). Der Bruch geht für n→∞ gegen \( \frac{2}{17} \)·n und \( \sqrt[n]{a·n} \) ist für 0<a≤1 für n→∞ tatsächlich 1.    

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Du kannst Teilwurzeln ziehen aus dem Produkt im Zähler und Nenner.

Der Betrag und der Nenner gegen gegen 1.

(3^n)^(1/3) = 3

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Danke euch beiden!