Sei f : [0,1] → [0,1] stetig. Zeige: Es gibt ein a ∈ [0,1] gibt mit f(a) = a.

Question

Sei f : [0,1] → [0,1] stetig. Wie zeige ich, dass es a ∈ [0,1] gibt mit f(a) = a?
Zudem gab es den Hinweis, dass man g(x) := f(x) − x betrachten soll

Comments

Vielen lieben Dank, das hat mir sehr geholfen :)

---

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt

Stichworte: fixpunkt,stetig

Hätte jemand hierzu einen Tipp oder einen Lösungsvorschlag?

lg Jay

Sei f : [0,1] → [0,1] stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt, d.h. es existiert ein a ∈ [0,1] mit f(a) = a.

---

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/82339/sei-f-0-1-0-1-stetig-zeige-es-gibt-ein-a-0-1-gibt-mit-f-a-a

---

Es fällt auf, dass du bei all deinen Fragen noch niemandem einenr Stern vergeben hast. https://www.mathelounge.de/user/JayVD/questions Da gibt es noch nicht sehr viele Antworten. Haben dir die Antworten nicht geholfen? Sind die Fragen ohne Antworten noch immer offen oder kannst du eventuell selbst inzwischen für spätere Studierende eine Antwortskizze / Antwort verfassen?

---

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/354469/sei-f-0-1-0-1-stetig-beweisen-sie-dass-es-einen-fixpunkt-gibt

Answer 1

Sei  g(x) := f(x) - x. Es ist klar, dass  g  stetig ist, wenn  f  stetig ist. Es gilt  g(0) = f(0) ≥ 0  und  g(1) = f(1) - 1 ≤ 0. Daher gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein  a ∈ [0,1]  mit  g(a) = 0. Daraus folgt  f(a) - a = 0  und daraus die Behauptung.