Matrixdarstellung bezüglich zwei Basen ausrechnen

Question

Hallo, meine Frage folgt zum Schluss,

V ist Vektorraum der Polynome über R vom Grad ≤ 2

f: V → \( R^{2} \)  definiert durch f(\(\displaystyle\sum_{i=0}^2\)(\(a_{i}T^{i}\)) = \( \begin{pmatrix} a2\\a0\\\end{pmatrix} \)

Ich soll davon die Matrixdarstellung der Basen B und C bezüglich cMb(f) berechen.

Man wählt die Standardbasis des Polynoms also 1,T,\( T^{2} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\0\\\end{pmatrix} \) sowie \( \begin{pmatrix} 0\\1\\\end{pmatrix} \)

Erste Rechnung wäre zum Beispiel:

f(1) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\\end{pmatrix} \) = 0 mal \( \begin{pmatrix} 1\\0\\\end{pmatrix} \) plus 1 mal \( \begin{pmatrix} 0\\1\\\end{pmatrix} \)

Verständlich, aber wie kommt man auf f(1) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\\end{pmatrix} \) ?

Man setzt die 1 ja in f(\(\displaystyle\sum_{i=0}^2\)(\(a_{i}T^{i}\)) = \( \begin{pmatrix} a2\\a0\\\end{pmatrix} \) ein, aber ich verstehe nicht, wie da als Werte 0 und 1 rauskommen. Für f(T) kommt \( \begin{pmatrix} 0\\0\\\end{pmatrix} \) raus, verstehe ich auch nicht, wie genau setzt man denn T in f(\(\displaystyle\sum_{i=0}^2\)(\(a_{i}T^{i}\)) = \( \begin{pmatrix} a2\\a0\\\end{pmatrix} \) ein, sodass da \( \begin{pmatrix} 0\\0\\\end{pmatrix} \) raus kommt ?

Was wird genau gerechnet ? Kann mir das jemand erklären ?

Danke

Comments

Wo ist denn \(a_1\) geblieben? Die Summe läuft doch von \(0\) bis \(2\).

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Die steht nicht drin und deine Frage hat soeben zur Lösung des Problems geführt.

Und zwar steht a2 für das Polynom von T vom Grad 2 und a0 für \( T^{0} \) also Polynom vom Grad 0 sprich Konstante 1.

Wenn man also 1 einsetzt, also f(1) muss a0 raus kommen also muss man den Vektor \( \begin{pmatrix} 0\\1\\\end{pmatrix} \)einsetzen was a2 mal 0 + a0 mal 1 ergibt = a0.

Bei T muss man logischerweise \( \begin{pmatrix} 0\\0\\\end{pmatrix} \) einsetzen, da dieses Polynom nicht definiert ist, also a2 mal 0 + a0 mal 0 = 0

Bei \( T^{2} \) setzt man logischerweise dann \( \begin{pmatrix} 1\\0\\\end{pmatrix} \) ein, warum, weil man ja das Polynom vom Grad 2 braucht, das mit a2 definiert ist, also a2 mal 1 + a0 mal 0 = a2.

Danke für deine Frage !

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