Steckbriefaufgabe: Gebrochenrationale Funktionen: Nullstellen: xN1=2 (einfach), xN2= -4 (doppelt)...

Question

Fragestellung:

eine gebrochenrationale Funktion f besitzt die folgenden Eigenschaften:

1.Nullstellen: x_N1=2 (einfach), x_N2= -4 (doppelt),

2.Pole: x_P1=-1, x_P2=1,

3. Schnittstelle mit der y-Achse: f(0)=4.

Weitere Nullstellen und Pole liegen nicht vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Eine Lösung ist in der Aufgabenstellung gegeben. Wie geht man an so eine Aufgabe am besten ran? Ich hab wirklich keine Ahnung, bitte um eure Hilfe.

Answer 1

Hi,

also als erstes die Nullstellen betrachten:

du weißt von deiner Funktion die Nullstellen, dann kann man dieselbe ganz einfach mit Linearfaktorzerlegung aufschreiben.

 

f(x)=(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)

Bei einer gebrochenrationalen Funktion wird die Funktion 0, wenn der Zähler 0 wird..

Polstellen sind jene Stellen an denen der Nenner 0 wird..

Wenn jedoch Zähler und Nenner an den gleichen Stellen 0 werden, ist einer genauere Untersuchung angesagt..

 

Ich hoffe ich konnte dir helfen..

mfg

Dennis

Comments

Die linearfaktorzerlegung war ein guter tip. Nullstellen einer gebrochenrationalen funktion ergeben sich ja aus dem zähler, richtig?

somit weiß ich wie der zähler aussehen soll: (x-2)*(x+4)²

wie ich die polstellen unterbringen soll bin ich überfragt  und ebenso bei der schnittstelle

 

hast du da vielleicht noch einen tip?

---

Jap..

also der Zähler ist schon mal richtig.

Mit dem Nenner verhält es sich genau gleich..

Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion. Das kann man sich ganz leicht plausibel machen wenn man sich vorstellt, eine konstante Zahl wird durch etwas sehr kleines dividiert, dann wird der gesamte Bruch ziemlich groß..

Also die Nullstellen des Nenners sind gesucht und die stehen ja auch da.. sind x₁=1 und x₂=-1

So wissen wir die Funktion müsste schonmal in etwa so aussehen:

f(x)=(x-2)(x+4)²/(x-1)(x+1)

aber wir sind noch nicht fertig.. denn wir haben die Schnittstelle mit der y-Achse noch nicht beachtet..

wie kann man das noch reparieren??

Answer 2

\(f(x)= a*\frac{(x-2)(x+4)^2}{x^2-1} \)

3. Schnittstelle mit der y-Achse: f(0)=4

\(f(0)= a*\frac{(0-2)(0+4)^2}{0^2-1}=4 \)

\(a=\frac{1}{8} \)

\(f(x)= \frac{1}{8}*\frac{(x-2)(x+4)^2}{x^2-1} \)