Würfelwurf solange das der Anfang dem Ende entspricht

Question

Ich habe ein Problem bezüglich einer Aufgabe mit Wahrscheinlichkeitsräumen.

Sie lautet wie folgt: ,, Eine fairer Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal der Ausgang dem letzten Ausgang entspricht, also die Zahl 6 auf 6 folgt oder z.B. 2 auf 2. Modellieren Sie diesen Vorgang in Form eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, P). Spezifizieren sie die Ergebnismenge Ω in Form eines regulären Ausdrucks. Modellieren Sie die Anzahl der Würfe in Form einer Zufallsvariablen."

Ich denke, dass Ω so lauten muss: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

und die Wahrscheinlichkeit P so : P: E -> [0, 1], P(E) = $$ \frac{\vert E\vert}{6}$$

Nur bei dem Aufgabenteil mit der Ergebnismenge und der Zufallsvariable bin ich mir nicht so sicher. Ich hoffe irgendeiner kann mir helfen.

Answer 1

\(\Omega\) ist die Menge aller endlichen Folgen mit Mindestlänge \(1\) über der Menge \(\{1,2,3,4,5,6\}\), in denen kein Folgenglied gleich dem vorhergehenden Folgenglied ist.

Die Länge der Folge \(w\) sei \(|w|\).

Dann ist

        \(P:\operatorname{Pot}(\Omega)\to[0,1], E \mapsto \sum\limits_{w\in E}\left(\frac{1}{6}\right)^{|w|+1}\)

und die Zufallsvariable ist

        \(X:\Omega \to \mathbb{N}, w\mapsto |w|+1\).

Würfelwurf solange das der Anfang dem Ende entspricht

Das ist nicht das, was in der Aufgabenstellung steht.

Ich denke, dass Ω so lauten muss: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Dein Ω ist endlich.

Eine fairer Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal der Ausgang dem letzten Ausgang entspricht

Nach wie vielen Würfen passiert das spätestens?

P: E -> [0, 1]

Was ist E?

Answer 2

Ich muss zuerst gestehen, dass ich nicht so recht verstehe, was der Aufgabensteller hier erwartet. Man könnte wohl die intendierte Aufgabe besser (und vor allem verständlich !) formulieren.

Das Ganze beruht natürlich auf dem einfachen Würfeln (ein Würfel einmal geworfen). Für dieses Zufallsexperiment bezieht man sich natürlich zunächst auf die Ergebnismenge

      Ω₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Der gesamte hier betrachtete Vorgang erfordert aber eine andere Ergebnismenge, nämlich

Ω = Menge aller Zahlenfolgen <a₁, a₂, a₃, .... , a_n-1, a_n>  beliebiger Länge n  (n ∈ ℕ , n ≥ 2) mit  a_i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}  und mit der Eigenschaft, dass

      i = n  ⇔  a_i = a_i-1

Diese Ergebnismenge hat natürlich unendlich viele Elemente, und jede einzelne solche Ergebnis-Folge hat offensichtllich die Wahrscheinlichkeit  6^-n  , falls n die Länge der Folge ist.

Für die Berechnungen in der "Modellierung" wird man sich also vor allem überlegen müssen, wie viele Ergebnis-Folgen jeder bestimmten Länge n es gibt. Nennen wir diese Anzahl  A(n)  (in Abhängigkeit der Länge n).

Dann wäre  P(n) = A(n) / 6ⁿ

Die ersten paar Werte für die A(n) wären:

A(1) = 0 , A(2) = 6 , A(3) = 30

Für die durchschnittlich zu erwartende Anzahl notwendiger Würfe (bis und mit dem abschließenden Paar von zwei identischen Augenzahlen) komme ich mit meiner Rechnung auf ein "schönes" ganzzahliges Ergebnis.