Punkt Q wird solange verschoben auf der Geraden bis die Strecke PQ senkrecht auf der Geraden steht.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist der Abstand des Punktes P(6/4/8) von der Geraden g: x = (2,-1,1) + t (-4,6,2). Dazu wird ein Punkt Q auf g solange verschoben, bis die Stecke PQ senkrecht auf g steht. Es ist also \( \overrightarrow{0Q_t} \) = (1,-1,1) + t (-4,6,2).

a) Bestimmen sie für t=0 (t=1, t=2) den Vektor PQ_t und prüfen Sie, ob er senkrecht auf g steht.

Problem/Ansatz:

wie muss ich vorgehen?

Comments

Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.

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Wenn \( \vec{0Q_t} \) auf einen Punkt der Geraden g zeigt, dann ist \( \vec{0Q_t} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \)+t·\( \begin{pmatrix} -4\\6\\2 \end{pmatrix} \). Prüfe bitte deine Eingabe.

Answer 1

g: x = (2,-1,1) + t (-4,6,2). ==>  Punkt Q auf g hat Koordinaten (2-4t ; -1+6t; 1+2t).

und P(6/4/8).

==>     \(  \vec{ PQ_t} =   \begin{pmatrix} -4-4t\\-5+6t\\-7+2t \end{pmatrix} \)  

also für t=0    \(  \vec{ PQ_t} =  \begin{pmatrix} -4\\-5\\-7 \end{pmatrix} \) Skalarprodukt mit     \(   \begin{pmatrix} -4\\6\\2 \end{pmatrix} \)

ist 16-30-14 ungleich 0, also ist hier \(  \vec{ PQ_t} \) nicht senkrecht zu g.

t=1     \(  \vec{ PQ_t} =  \begin{pmatrix} -8\\1\\-5 \end{pmatrix} \) Skalarprodukt mit   \(  \begin{pmatrix} -4\\6\\2 \end{pmatrix} \)

ist 32+6-10 ungleich 0, also ist hier \(  \vec{ PQ_t} \) nicht senkrecht zu g.

t=2     \(  \vec{ PQ_t} =  \begin{pmatrix} -12\\7\\-3 \end{pmatrix} \) Skalarprodukt mit   \(  \begin{pmatrix} -4\\6\\2 \end{pmatrix} \)
ist 48+42-6 ungleich 0, also ist hier \(  \vec{ PQ_t} \) nicht senkrecht zu g.

Aber für t=0,5 klappt es:

\(  \vec{ PQ_t} =  \begin{pmatrix} -6\\-2\\-6 \end{pmatrix} \) Skalarprodukt mit   \(  \begin{pmatrix} -4\\6\\2 \end{pmatrix} \) ist 24-12-12=0.

Answer 2

Mein Kommentar oben

... wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.

bedeutet:

(6-(2-4*t))*(-4) + (4-(-1+6*t))*6 + (8-(1+2*t))*2 = 0

Auch wenn nicht explizit danach gefragt worden ist: Wenn t = 1/2, dann senkrecht, und umgekehrt.