Sind U und M Untervektorräume?

Question

a) ( 5 Punkte) Sei \( M=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}=x_{2}\right. \) und \( \left.x_{3}=x_{4}\right\} \). Beweisen oder widerlegen Sie, dass \( M \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{4} \) ist.

b) ( 5 Punkte) Sei \( U=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}=x_{2}\right. \) oder \( \left.x_{3}=x_{4}\right\} \). Beweisen oder widerlegen Sie, dass \( U \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{4} \) ist.

Ich habe bei beiden Aufgaben raus, dass es Unterverktorräume sind. Ist das so richtig? Wenn nicht, wieso?

Comments

Hallo,

schau mal, ob folgende Vektoren zu U gehören: (1,1,1,2), (1,2,3,3). Und wie steht es mit der Summe, gehört die auch zu U?

Gruß

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Oh, ich glaube ich habe das mit dem oder falsch aufgefasst. Wenn ich die Abgeschlossenheit bezüglich Addition prüfen will, kann ich ja nicht davon ausgehen, dass bei den Vektoren die ich addieren will bei beiden jeweils x1=x2 oder bei beiden x3=x4 gegeben ist.

Danke :)

Answer 1

M ist ein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^{4}\).

U ist kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^{4}\) wegen

\(\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix}\in U\) und \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\\3\end{pmatrix}\in U\) aber \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\2\\3\\3\end{pmatrix} \notin U\).