Ist die Ableitung tatsächlich korrekt?

Question

Aufgabe:

Ist die Ableitung korrekt?

Es soll gezeigt werden, dass f:R->R, f(x):=x*wurzel(|x|) differenzierbar ist.

Dafür wurden Fälle unterschieden und jeweils abgeleitet.

Die Ableitung für den Fall x<0 verstehe ich nicht.

Die Funktion für x<0 wäre f(x)=x*wurzel(-x)=-(-x)^(3/2) was ich verstehe, aber warum lautet die Ableitung f'(x)=3/2*(-x)^(1/2) und nicht f'(x)=-3/2*(-x)^(1/2)?

Die Funktion ist ja nicht monoton steigend sondern fallend für x<0

Answer 1

$$f(x)=x\cdot \sqrt{|x|} = \begin{cases} x\cdot \sqrt{x} , \ \text{ wenn } x\geq 0 \\ x\cdot \sqrt{-x} , \ \text{ wenn } x<0\end{cases}= \begin{cases} x^{3/2} , \ \text{ wenn } x\geq 0 \\ -(-x)^{3/2} , \ \text{ wenn } x<0\end{cases}$$ 

Wenn x<0 haben wir die Ableitung: $$\left (-(-x)^{3/2}\right )'=-\frac{3}{2}\cdot (-x)^{3/2-1}\cdot (-x)'=-\frac{3}{2}\cdot (-x)^{1/2}\cdot (-1)=\frac{3}{2}\cdot (-x)^{1/2}$$ Wir benutzen hier die Kettenregel.

Answer 2

Hallo, du kannst deine Funktion \(f\) etwas anders hinschreiben:

\(f(x)=x\cdot \sqrt{|x|}=x\cdot \sqrt{\sqrt{x^2}}\)

Jetzt musst du nur noch mit der Produkt -und Kettenregel arbeiten:

\(f'(x)=1\cdot \sqrt{\sqrt{x^2}}+x\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{\sqrt{x^2}}}\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x^2}}\cdot 2x\\=\sqrt{\sqrt{x^2}}+x^2\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{\sqrt{x^2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2}}\\=\sqrt{\sqrt{x^2}}+x^2\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x^2\cdot \sqrt{x^2}}}\\=\sqrt{|x|}+x^2\cdot \frac{1}{2\cdot |x|\cdot \sqrt{|x|}}\\=\sqrt{|x|}+|x^2|\cdot \frac{1}{2\cdot |x|\cdot \sqrt{|x|}}\\=\sqrt{|x|}+|x|\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{|x|}}\\=\sqrt{|x|}+\sqrt{|x|^2}\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{|x|}}=\sqrt{|x|}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{|x|^2}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{|x|}\)

Wenn man aber deine Fallunterscheidung heranzieht:

Für \(x<0\) hast du \(f(x)=x\cdot \sqrt{-x}\) und damit:

\(f'(x)=\sqrt{-x}+x\cdot \frac{-1}{2\cdot \sqrt{-x}}=\sqrt{-x}+\frac{-x}{2\cdot \sqrt{-x}}\\\stackrel{x<0,\text{  Potenzgesetze}}{=}\sqrt{-x}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{-x}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{-x}\)