Bestimmen Sie für folgende Matrizen A, B und C jeweils alle Eigenwerte

Question

Bestimmen Sie für folgende Matrizen $A, B$ und $C$ jeweils alle Eigenwerte und jeweils eine Basis der zugehörigen Eigenräume:

$\begin{array}{l} A:=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{C}) \\ B:=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) \end{array}$

$C :=\left(\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(5 \times 5, \mathbb{R})$

Answer 1

Die Eigenwerte von lassen sich einfach mit det(M-λ E) = 0 berechnen. Wobei M eine quadratische Matrix ist, λ ∈ ℂ die Eigenwerte und E die Einheitsmatrix mit der selben Dimension von M.

Die Eigenwerte sind:

A: 3 + i, 3 - i, 1.

B: 2, 2, 1

C: 3, 2, 2, -1, 1