Welches ist das maximale Volumen eines Rechteckquaders mit quadratische Basis dessen Oberfläche 200 dm2 ist.

Question

Aufgabe:

Welches ist das maximale Volumen eines Rechteckquaders mit quadratische Basis dessen Oberfläche 200 dm² ist.

Problem/Ansatz:

A = 200 dm²

Wir haben einen Quader dessen Basis ein Rechteck ist also:

A = 2x² + 4xy = 200 dm²

2x² für die Fläche des Quadrats oben/unten und 4xy für die Fläche der 4 Quaderseiten

Jetzt hole ich das y raus, also:

y = \( \frac{200-2x^2}{4x} \)

y = \( \frac{100-x^2}{2x} \)

Jetzt fehlt mir leider die Formel für das Volumen... Danach muss ich y darein einsetzen und ableiten. Danach muss ich die Ableitung = 0 setzen und per Zeichentabelle schauen, wo es ein Maximum ist. Diesen maximal Wert muss ich dann in die Ausgangsgleichung für das Volumen wieder einsetzen, so habe ich das maximale Volumen, richtig?

Answer 1

Wenn dies dein Ansatz ist:

2x² + 4xy = 200 

Und du nach y auflösen willst, geht es so weiter:

4xy=200-2x²

y=50/x+x/2

Comments

Ja, sorry. Hatte die 2 im Nenner vergessen. Aber wie finde ich jetzt die Formel fürs Volumen, die ich ableiten muss?

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V = x^2 * y
V = x^2 * ( 50/x+x/2 )
V = 50x + x^3 / 2
V ´( x ) = 50 - 3 * x^2 / 2
Extremwerte
50 - 3 * x^2 / 2 = 0
y = 7.77 dm

Bitte nachprüfen.

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In V=x²·y wird y eingesetzt:

V(x)=x²(50/x-x/2)=50x - x³/2.

Nullstellen der Ableitung auf Maximum prüfen.

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Das Maximum liegt bei \( \sqrt{\frac{100}{3}} \) und somit, wenn ich es in V = 50x - x³ / 2 einsetze, komme ich an \( \frac{1000\sqrt{3}}{9} \) dm³ also ca. 192,45 dm^3

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Korrektur
Extremwerte
50 - 3 * x^2 / 2 = 0
x = 5.77 dm
V = 50x + x^3 / 2
V = 384.9 dm^3

Irgendwie habe ich das Doppelte
deines Ergebnisses heraus.

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V = 50x - x^3 / 2

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Dann ist alles klar,