Flugzeug Abstand berechnen Abhängig von der Zeit

Question

Aufgabe: Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 befindet sich ein erstes
Flugzeug zu Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer
Geschwindigkeit von 300 ℎ in Richtung des Vektors (1/2/1). Ein zweites Flugzeug befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34,2|15,3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von400 ℎ in Richtung des Vektors (−223).

Beurteilen Sie, ob eine Kollision der Flugzeuge (Abstand unter 50) zu befürchten ist.

Problem/Ansatz: Ich habe den Abstand der Punkte, wo sich die Flugbahnen sich am nächsten kommen, aber nicht der Flugzeuge. Wie mach ich das? Zunächst müsste ich die Zeit ausrechnen, welches das eine Flugzeug braucht um an den nächsten Punkt zu gelangen. Wie rechne ich dann den Punkt und die Zeit aus? Und dann wenn ich die Zeit hätte müsste ich dann bei der anderen Gleichung für t die gleiche Zeit einsetzen, welche ich auch bei der anderen bekommen habe. Daraus würde ich dann den Punkt bekommen und dann aus den 2 Punkten die ich erhalten habe einen Verbindungsvektor draus machen und den Betrag ausrechnen oder?

Answer 1

Mache doch die Geradengleichungen mit der Zeit als

Parameter. Geschwindigkeit dann aber wohl 300/h also 5/min

bzw. 400/h gibt dann 20/3  pro min.

Die Längen der Richtungsvektoren sind √6  bzw. beim 2.
ist es √17. Also Geradengleichungen mit t in Minuten:
$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+t*\frac{5}{\sqrt{6}}*\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$$
und das zweite $$h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 20\\34,2\\15,3 \end{pmatrix}+t*\frac{20}{3*\sqrt{17}}*\begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix}$$
Bilde jetzt von beiden die Differenz und bestimme davon die kürzeste Länge:
 $$d(t)  = \begin{pmatrix} 20\\34,2\\15,3 \end{pmatrix}+t*\frac{20}{3*\sqrt{17}}*\begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix} -t*\frac{5}{\sqrt{6}}*\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$$
Das ist ungefähr $$\begin{pmatrix} 20-5,275t\\34,2-0,849t\\15,3 +2,809t\end{pmatrix}$$
Und davon die Länge ist √ ( 36,44t^2 -183,1t +1803,7 ).
Das ist minimal, wenn der Term in der Wurzel minimal ist, also
für t=2,51  .
Da beträgt die Länge √1574 ≈ 39,7  also Kollisionsgefahr in etwa 2,5 min.