Meine Idee : ich zerlege es in 3^3 +2 =29 = x mod 10 .Also ist x gesucht oder?

Question

Hallo Leute,

sitze gerade an einer Aufgabe dran und bin schon etwas am verzweifeln.

Ich muss die letzte Ziffer von der Dezimaldarstellung 29^n finden.

Meine Idee : ich zerlege es in 3^3 +2 =29 = x mod 10 .Also ist x gesucht oder?

Und habe ich es denn richtig zerlegt irgendwie mache ich da was falsch.

Brauche dringend Hilfe bitteee :/

Liebe Grüße

Answer 1

Deinen Ansatz mit der Zerlegung verstehe ich nicht so ganz. Es gilt

$$ 29^n \equiv (-1)^n \mod (10) $$

D.h. die letzte Dezimalstelle ist 1 für gerade n und 9 für ungerade n.

Comments

okay so halbwegs habe ich das verstanden, dann :

29^(2n) = 1 mod 10

und 29^(2n+1)= 9 mod 10  ?

Ich habe im  Beispiel 81^n gesehen, dass man es zerlegt hat in 81=3^4 =1 mod 10

dann 3^(4n) =1 mod 10 und somit ist die letzte Ziffer die Eins.

Deswegen dacht ich, dass man diese Zahlen erstmal zerlegen sollte.

Wie wäre es dann bei 7^n auch mit gerade n und ungerade n ?

Danke vielmals !

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81=3^4 =1 mod 10

Also dass 81 bei Division durch 10 den Rest 1 lässt, ist finde ich direkt zu sehen. Dazu braucht man keine Zerlegung oder so zu verwenden.

Bei 7 ist das etwas schwieriger, du kannst dir ja die ersten paar Potenzen modulo 10 ja einmal anschauen:

$$ 7 \equiv 7 \mod (10) \\ 7^2 =49 \equiv 9 \equiv -1 \mod(10)\\ 7^3 = 7^2 \cdot 7 \equiv (-1) \cdot 7 = -7 \equiv 3 \mod (10) \\ 7^4 = (7^2)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \mod (10)$$

Für \( n = 4k+r \) mit \( 0\le r < 4 \) ist also

$$ 7^n = (7^4)^k \cdot 7^r \equiv 1 \cdot 7^r = 7^r \mod (10) $$

Es ist also

$$ 7^n \equiv \begin{cases}1 & n \equiv 0 \mod (4)\\ 7 & n \equiv 1 \mod (4)\\ 9 & n \equiv 2 \mod (4)\\ 3 & n \equiv 3 \mod (4) \end{cases} \mod (10) $$

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Okay ich gucke mir das dann mal an ,aber hast mich aufjedenfall weitergebracht danke vielmals !