Analysieren Sie, ob eine Funktion 3. Grades keinen, einen oder zwei Extremstellen besitzen kann.

Question

Aufgabe: Analysieren Sie, ob eine Funktion 3. Grades keinen, einen oder zwei Extremstellen besitzen kann.

Problem/Ansatz:

Hallo,

also ich hab jetzt notiert, dass eine Funktion 3. Grades 2 oder keine Nullstellen haben kann. Sie kann höchstens 2 haben, da die erste Ableitung höchstens 2 Nullstellen hat. Und sie kann nicht 1 Extremstelle haben, da eine Funktion 3. Grades immer eine Wendestelle haben muss und somit nur eine Extremselle nicht in Frage kommt.

Stimmt das & muss ich noch etwas ergänzen?

Liebe Grüße:)

Answer 1

Hallo

eine Funktion 3. Grades geht immer von -oo nach +oo  (oder umgekehrt) also hat sie mindestens 1 Nullstelle ,

wenn die 2 hat, dann auch 3 oder eine einfache und eine doppelte (Berührpunkte mit der  x- Achse heissen doppelte Nullstellen.

die Ableitung hat höchsten 2 Nullstellen also  höchsten 2 oder 0 Extrema, denn eine doppelte Nullstelle von f' heisst f''=0 also Wendeestelle,

Du hast alles richtig , nur vielleicht etwas ungeschickt ausgedrückt. und nicht gesagt, warum die Funktion eine Wendestelle haben MUSS

Gruß lul

Answer 2

Eine Funktion 3 Grades muss mindestens eine Nullstelle haben. Sie kann aber auch zwei (dann ist eines eine doppelte Nullstelle) oder drei Nullstellen haben.

Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist eine Funktion 2. Grades, die keine eine (dann eine doppelte) oder zwei Nullstellen hat. Eine Funktion 3. Grades kann daher keine Extremstelle, eine Sattelstelle (auch keine Extremstelle) oder zwei Extremstellen haben.

Die zweite Ableitung einer Funktion dritten Grades ist eine Funktion ersten Grades, die eine Nullstelle hat. Eine Funktion dritten Grades muss daher eine Extremstelle haben.