Aloha :)
Die Angabe der Menge \(B\) ist etwas verwirrend, es sollen Punkte aus \(\mathbb R^2\) sein, es gibt aber Bedingungen für \(x\), \(y\) und \(z\). Da das Differential aber lautet \(d(x,y,z)\), vermute ich, dass ein Voliumenintegral gemeint ist:$$B=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x\ge 0\;,\;y\ge 0\;,\;x^2+y^2\le z^2\;,\;0\le z\le1\}$$
Auf den ersten Blick scheint das ein Viertel-Zylinder mit Höhe parallel zur \(z\)-Achse sein. Daher empfehle ich hier den Übergang zu Zylinderkoordinaten:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Die Intervalle für die Variablen wählen wir so, dass alle Bedingungen der Menge \(B\) erfüllt sind:$$\varphi\in\left[0\big|\frac{\pi}{2}\right]\;;\;r\in[0;z]\;;\;z\in[0|1]$$
Damit können wir uns nun dem Integral zuwenden:$$I=\int\limits_B z^2\,d(x,y,z)=\int\limits_0^1dz\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^zdr\, r\,z^2=\int\limits_0^1z^2dz\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^z r\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1z^2dz\cdot\left[\varphi\right]_0^{\pi/2}\cdot\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^z=\int\limits_0^1z^2dz\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{z^2}{2}=\frac{\pi}{4}\int\limits_0^1z^4\,dz=\frac{\pi}{4}\left[\frac{z^5}{5}\right]_0^1=\frac{\pi}{20}$$
