Wie hoch muss der Preis sein, damit dieser die höchstmöglichen Einnahmen einbringt.

Question

Moin!

Ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe, an der ich nicht weiterkomme und würde mich über Hilfe freuen :D

Aufgabe:

Beim letzten Konzert einer Band hat der Eintritt 5€ gekostet. Es kamen 600 Gäste. Allerdings wurde bei der Aufführung insgesamt Verlust gemacht. Deswegen soll der Preis nun erhöht werden. Eine Befragung ergibt, dass pro 1€ Preiserhöhung etwa 20 Gäste weniger kommen werden.

2) Bestimme den Preis, mit dem die Band die höchsten Einnahmen erzielen kann. Wie hoch sind dann die Einnahmen und wie viele Gäste werden kommen?

Problem/Ansatz

Ich habe bislang: 600-20x

Wie kann ich diesen Term nun jedoch in eine quadratische Funktion umwandeln und den Scheitelpunkt zu berechnen, welcher ja bei diesem Optimierungsproblem notwendig ist?

Vielen Dank!

Answer 1

bei 5€ sind es 600 Gäste, bei 6€ 580 Gäste. Die Funktion ist linear, daher P=mx+b

5=600m+b

6=580m+b

-> 1=-20m    m=-1/20   oben eingesetzt

5=600/-20+b

35=b

Preis-Absatzfunktion daher: P=-1/20x + 35

Für den maximalen Umsatz brauchst du nun die Umsatzfunktion P*x

U=(-1/20 x + 35)*x

U=-1/20 x²+35x   ableiten, 0 setzen, dann hast du das optimale x. Dann damit in die Preisfunktion ergibt den zugehörigen Preis.