Wo befindet sich das Maximum an Einnahmen?

Question

Aufgabe:

Eine Autovermietung verfügt über 80 Wagen einer bestimmten Kategorie. Alle 80 Autos sind jeden Tag immer vermietet. Der Preis liegt bei 64 Euro pro Tag. Ein Mitarbeiter findet heraus das bei einer Preiserhöhung von 4 Euro 1 Mietwagen weniger vermietet wird. Wo befindet sich das maximum an Einnahmen? Nutzbare Mittel: quadratisch Ergänzen etcs, Formel aufbauen( noch keine Ableitungen ).

Problem/Ansatz:

Die Frage die sich mir aber stellt, ich verstehe bisher alle Textaufgaben zu dem Thema, aber in meinem Buch steht: Preisfunktion(x)= 64 + (80-x)*4. Und Einnahmen(x) = x * p(x) (((logisch))) Aber würde man bei p(x) 0 Wagen wurden verkietet einsetzen, würde trz ein Preis entstehen. Auch bei x=1 haut die Preisfunktion ja nicht hin weil: p(1)= 64+ (80-4)4= 64+320-4= 380. Ein Fahrzeug kostet keine 380 Euro pro Tag. Ich hatte mir selber eine Funktion gebastelt, aber ich glaube etwas stimmt mit dieser auch nicht, da ich nicht denselben Scheitelpunkt der Auto im Buch erhalte. F(x) = (80-X)* (64+4x)

Comments

Ergänzung: Die Begründung im Buch für deren p(x) lautet: Den jeweils gültigen Vermietungspreis kann man berechnen, indem man zum Grundpreis von 64€ eine Steigerung von 4 Euro so oft hinzuzählt, wie es die Zahl der NICHT vermieteten Autos angibt (80-x)

Und: meine Funktion die ich aufgestellt hatte, passt nur in dem Zusammenhang, das wenn ich sie ergänzt habe, S sozusagen ,den Wert hat: Maxium= 80 Autos minus Scheitel und Maxium = Einnahmen + Scheitel. Also gibt mir von meiner aufgestellten Funktion S nicht direkt die Lösung an, sondern ich muss die Werte von S noch abziehen bzw. Hinzufügen zu den normalen Werten von 80 vermietetn Autos und den Einnahmen 80*64

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Gelöschter Kommentar

Answer 1

x = Anzahl der vermieteten Autos
Preisfunktion(x)= 64 + (80-x)*4
x = 80 = 64 €
x = 79 = 64 + ( 80 - 79 ) * 4 = 68 €

Erlös = Preisfunktion * x
Erlös = [ 64 + ( 80 - x ) * 4 ] * x
E ( x ) = 64 * x + 320 * x - 4 * x^2
E ´( x ) = 384 - 8 x
Optimum
384 - 8 * x = 0
x = 48 Autos

Proben
80 * 64 = 5120 €
79 * 68 = 5372 €
E ( 48 ) = [ 64 + ( 80 - 48 ) * 4 ] * 48 = 9216 €

Oder berechenbar mit der Scheitelpunktsform der Funktion
E ( x ) = 384 * x - 4 * x^2

Bitte nachrechnen.