Potenzfunktionen: Bestimme den Preis, der die maximalen Einnahmen erwarten lässt

Question

Potenzfunktionen - Quadratische Funktionen

Die Aufführung eines Jugendtheaters haben bei einem Eintrittspreis von 8€ durchschnittlich 200 Besucher. Eine Umfrage ergibt, dass eine Preisermäßigung um 0,50€ (bzw. 1,00€, 1,50€,...) die Anzahl der Zuschauer um 20 (bzw. um 40,60,...) ansteigen lassen würde . Bestimme den Eintrittspreis , der die maximalen Einnahmen ergibt.

Danke

Answer 1

Einnahme = Zuschauerzahl * Eintrittspreis

Aufgrund der Umfrage gilt:

( Eintrittspreis = 8 - k * 0,5 ) => ( Zuschauerzahl = 200 + k * 20 )

Also:

Einnahme ( k ) = ( 200 + k * 20 ) * ( 8 - k * 0,5 )

= 1600 - 100 k + 160 k - 10 k ²

= - 10 k ² + 60 k + 1600

Das ist eine quadratische Funktion, deren Graph wegen des negativen Koeffizienten des quadratischen Gliedes nach unten geöffnet ist und somit ein Maximum hat, nämlich seinen Scheitelpunkt.

Lösung ohne Differentialrechnung: 

Umformung in die Scheitelpunktform f ( x ) = a ( x - xs ) ² + ys , aus der man die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( xs | ys ) direkt ablesen kann:

Einnahme ( k ) = - 10 ( k ² - 6 k ) + 1600

= - 10 ( k ² - 6 k + 9 - 9 ) + 1600

= - 10 ( ( k - 3 ) ² - 9 ) + 1600

= - 10 ( k - 3 ) ² + 90 + 1600

= - 10 ( k - 3 ) ² + 1690

Ablesen: S ( xs | ys ) = ( 3 | 1690 )

Also: Senkt man den Preis von 8 Euro auf 8 - 3 * 0,5 = 6,50 Euro, werden 200 + 3 * 20 = 260 Zuschauer kommen und insgesamt 260 * 6,5 = 1690 Euro zahlen. Das sind die maximalen Einnahmen.
Der gesuchte Preis ist also 6,50 Euro

 

Lösung mit Hilfe der Differentialrechnung:

Einnahme ( k ) = - 10 k ² + 60 k + 1600

Ein Extremum liegt höchstens dort vor, wo die erste Ableitung Einnahme ' ( k ) den Wert Null annimmt, also:

Einnahme ' ( k ) = - 20 k + 60 = 0

<=> 20 k = 60

<=> k = 3

An dieser Stelle liegt tatsächlich ein Maximum vor, denn die zweite Ableitung
Einnahme ' ' ( k ) =  - 20 ist überall negativ, also auch an der Stelle k = 3.

Comments

Sehr schöne Antwort!