wie funktioniert diese Rekonstruktion Aufgabe?

Question

Hallo, ich habe im allgemeinen Probleme mit dem Thema und wollte fragen, ob mir jemand mit dieser Aufgabe helfen könnte.

Der zum Ursprung punktsymmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion siebten
Grades besitze einen Sattelpunkt bei (0|0), ein Minimum im Punkt (−1|−18) und
schneide die x-Achse im Punkt (2|0). Ermitteln Sie den zugehörigen Funktionsterm.

f(x)= ax⁷+bx⁶+cx^5+dx^4+ex³+fx²+gx+h

f´(x)= 7ax⁶+6bx^5+5cx^4+4dx³+3ex²+fx+g

Comments

ich kenne jedoch schon das ergebniss

f(x) = 7x^7 − 41x^5 + 52x^3

Answer 1

Der zum Ursprung punktsymmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion siebten
Grades

Man erinnert sich was "zum Ursprung punktsymmetrische Graph" bei ganzrationalen Funktionen bedeutet.

Man kommt auf

        \(\begin{aligned}b&=0\\d&=0\\f&=0\\h&=0\end{aligned}\).

Sattelpunkt bei (0|0)

Sattelpunkte sind Wendepunkte mit horizontaler Tangente.

Horizontale Tangente bedeutet \(f'(x) = 0\); Wendepunkt hat notwendigerweise \(f''(x) = 0\), außerdem soll der Funktionswert \(f(x) = 0\) sein. Weil dass alles an deer Stelle \(x=0\) passiert, kommt man zu den drei Gleichungen

  \(\begin{aligned}f(0)&=0\\f'(0)&=0\\f''(0)&=0\end{aligned}\).

ein Minimum im Punkt (−1|−18)

Am Minimum ist ebenfalls eine horizontale Tangente.

  \(\begin{aligned}f'(-1)&=0\\f(-1)&=-18\end{aligned}\).

schneide die x-Achse im Punkt (2|0)

Punkt einsetzen ergibt

  \(\begin{aligned}f(2)&=0\end{aligned}\).

Comments

für die weiteren schitte nur ist mir nicht klar wie ich auf das Ergebnis

f(x) = 7x^7 − 41x^5 + 52x^3

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Laut

      \(f(x)= ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h\)

ist

      \(f(-1)= a\cdot(-1)^7+b\cdot(-1)^6+c\cdot(-1)^5+d\cdot(-1)^4+e\cdot(-1)^3+f\cdot(-1)^2+g\cdot(-1)+h\).

Außerdem steht in meiner Antwort

      \(f(-1)=-18\).

Gleichsetzen ergibt

        \(a\cdot(-1)^7+b\cdot(-1)^6+c\cdot(-1)^5+d\cdot(-1)^4+e\cdot(-1)^3+f\cdot(-1)^2+g\cdot(-1)+h = -18\).

Verfahre ebenso mit den anderen Gleichungen für Sattelpunkt, Minimum und Schnittpunkt mit der x-Achse.

Füge dann die vier Gleichungen für die Punktsymmetrie hinzu und löse das Gleichungssystem.

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Hallo Oswald,
Punkt einsetzen ergibt
f Strich ( 2 ) = 0

Muß es nicht
f (2 ) = 0
heißen

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Ja, natürlichlich.

Answer 2

Der zum Ursprung punktsymmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion siebten Grades
Wenn es punktsymmetrisch sein soll entfallen
alle geraden Exponenten
f ( x ) = ax^7 + bx^5 + cx^3  + dx^2 + e
besitze einen Sattelpunkt bei (0|0),
e = 0
f ( x ) = ax^7 + bx^5 + cx^3  + dx^2
f ´ ( x ) = 7ax^6  + 5bx^4 + 3cx^2 + 2dx Steigung
f ´´ ( x ) = 42ax^5  + 20bx^3 + 6cx + 2d Krümmung
Stattelpunkt
f ´ ( 0 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0
ein Minimum im Punkt (−1|−18) und
f ( -1 ) = -18
f ´( -1 ) = 0
schneidet die x-Achse im Punkt (2|0).

f ' ( 0 ) = 0
f '' ( 0 ) = 0
f ( -1 ) = -18
f '( -1 ) = 0
f ( 2 ) = 0

Geht noch weiter

Ermitteln Sie den zugehörigen Funktionsterm.

Comments

Jetzt mußt du die Werte in die
Funktionen einsetzen
und dann das lineare Gleichungssystem
lösen.

Bin gern weiter behilflich.