Bestimmen Sie den Erwartungswert von X

Question

Aufgabe:

Eine Münze wird fünfmal geworfen. Die Zufallsgröße X ist die Anzahl der Kopfwürfe.
1. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf
2. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X

Problem/Ansatz:

1. Ich habe eine Tabelle von 0 -5 gemacht mit den Ergebnissen:

0 - 1/32

1 - 5/32

2 - 5/32

3 - 5/32

4 - 5/32

5 - 1/32

Ist das richtig so?

2. Hier habe ich folgendes gerechnet:

E ( X ) = 1* 5/32 + 2* 5/32 + 3* 5/32 + 4* 5/32 + 5* 1/32 = 1,71875

Stimmt das so?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Münze wird 5-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für \(k\)-Mal "Kopf" musst du mit der Binomialverteilung ermitteln. Diese berücksichtigt, dass es z.B. bei 1-mal "Kopf" ja 5 Möglichkeiten gibt, wo der Kopf auftauchen kann:$$KZZZZ, ZKZZZ, ZZKZZ, ZZZKZ, ZZZZK$$

$$p(0)=\binom{5}{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5-0}=\binom{5}{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}$$$$p(1)=\binom{5}{1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}=\binom{5}{1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{5}{32}$$$$p(2)=\binom{5}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5-2}=\binom{5}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{10}{32}$$$$p(3)=\binom{5}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5-3}=\binom{5}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{10}{32}$$$$p(4)=\binom{5}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5-4}=\binom{5}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{5}{32}$$$$p(5)=\binom{5}{5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5-5}=\binom{5}{5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}$$

Der Erwartungswert \(\mu\) für die Anzahl der "Köpfe" ist:$$\mu=0\cdot p(0)+1\cdot p(1)+2\cdot p(2)+3\cdot p(3)+4\cdot p(4)+5\cdot p(5)=2,5$$

Comments

Danke für deinen ausführlichen Kommentar! Ich glaube ich habe es jetzt verstanden, vielen vielen Dank! :)

Nur noch kurz eine kleine Frage, gibt es auch eine Möglichkeit das ohne die Binomialverteilung zu lösen? ( Ich frage, weil wir das glaub ich noch gar nicht richtig im Unterricht behandelt haben, bzw. nicht direkt so )

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Da die Anzahl der Kombinationen hier überschaubar ist, könntest du einfach alle Fälle auflisten:

0-mal Kopf: 1 Möglichkeit$$ZZZZZ$$

1-mal Kopf: 5 Möglichkeiten$$KZZZZ-ZKZZZ-ZZKZZ-ZZZKZ-ZZZZK$$

2-mal Kopf: 10 Möglichkeiten:$$KKZZZ-KZKZZ-KZZKZ-KZZZK$$$$ZKKZZ-ZKZKZ-ZKZZK$$$$ZZKKZ-ZZKZK$$$$ZZZKK$$

3-mal Kopf: 10 Möglichkeiten:$$KKKZZ-KKZKZ-KZKKZ-ZKKKZ$$$$KKZZK-KZKZK-ZKKZK$$$$KZZKK-ZKZKK$$$$ZZKKK$$

4-mal Kopf: 5 Möglichkeiten$$KKKKZ-KKKZK-KKZKK-KZKKK-ZKKKK$$

5-mal Kopf: 1 Möglichkeit: $$KKKKK$$

Zusammengezählt sind das 32 Möglichkeiten, sodass du die Wahrscheinlichkeiten nun ablesen kannst:

$$p(0)=\frac{1}{32}\;;\;p(1)=\frac{5}{32}\;;\;p(2)=p(3)=\frac{10}{32}\;;\;p(4)=\frac{5}{32}\;;\;p(5)=\frac{1}{32}$$

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Danke dir :)

Answer 2

E ( X ) = 1* 5/32 + 2* 5/32 + 3* 5/32 + 4* 5/32 + 5* 1/32 = 1,71875

Das wäre richtig, wenn deine Wahrscheinlichkeiten richtig wären.

2 - 5/32
3 - 5/32

Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht richtig.

Comments

Warum ist meine Rechnung nicht richtig, kannst du mir da weiterhelfen?

Bei 2:  5*( 1/2 )^2 *( 1/2 )^3

Bei 3: 5*( 1/2 )^3 *( 1/2 )^2

Was genau ist da falsch?

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Der Faktor 5 ist falsch. Von den fünf Würfen werden zwei ausgewählt, auf diesen soll "Kopf" fallen. Dazu gibt es mehr als 5 Möglichkeiten.

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Also wäre es anstatt der 5 vorne, eine 2? Ich bin etwas verwirrt..

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Das kann offensichtlich nicht sein, wenn man die Ergebnisse

• Im ersten und zweiten Wurf fallen Kopf
  
• Im ersten und dritten Wurf fallen Kopf
  
• Im ersten und vierten Wurf fallen Kopf
  
• ...

zählt.

Die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten \(k\) Objekte auszuwählen, berechnet man mit dem Binomialkoeffizienten \(n\choose k\), den du vielleicht vom pascalschen Dreieck kennst.

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Ich hab die Aufgabe lösen können. Trotzdem Danke für deine Hilfe! :)