Leipnizkriterium kurze Verständnisfrage

Question

Kurze Verständnisfrage: Wenn ich eine Reihe mittels des Leipnizkriteriums auf Konvergenz untersuche und eine Bedingung nicht erfüllt ist, kann ich dann schlussfolgern, dass die Reihe divergiert?

Comments

Der Mann hieß Leibniz.

Kommt drauf an welche Bedingung nicht erfüllt ist.

Wenn die Summanden keine Nullfolge bilden: Ja, dann divergiert die Reihe.

Wenn die Beträge der Summanden keine monoton fallende Nullfolge bilden, ist keine Aussage möglich.

Nimm z.B.

$$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n} $$

diese Reihe konvergiert nach Leibniz

$$ \sum_{n=1}^{42} (-1)^n \frac{1}{n} + (-1)^{43} \cdot 43 + (-1)^{44} \cdot 44 + \sum_{n=45}^\infty (-1)^n \frac{1}{n} $$

konvergiert logischerweise auch, da nur endlich viele Summanden geändert wurden. Aber die Beräge bilden keine monotone Folge. Man kann sich aber auch ein Beispiel überlegen in welchem die Verletzung dieser Eigenschaft zur Divergenz führt:

https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test#Counterexample

Answer 1

Das kann man nicht.

Zum Beispiel konvergiert die Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\) obwohl sie nicht alternierend ist.

Die alternierende Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\) mit

        \(a_{n}=\begin{cases} \frac{1}{3^n} & n\equiv0\mod2\\ \frac{1}{2^{n+1}} & n\equiv1\mod2 \end{cases}\)

konverigert, obwohl \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) nicht monoton fallend ist.