Wie groß ist der Fehler im Intervall [0.9,1.1] maximal?

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x)=ln(x) wird mit Hilfe der Taylorformel n=2 und Entwicklungspunkt x0=1 durch eine Parabel angenähert.

Wie groß ist der Fehler im Intervall [0.9,1.1] maximal?

Problem/Ansatz:

Mein Vorgehen:

Gemäß der Formel für das Restglied von Lagrange müsste folgendes Ergebnis herauskommen für das Restglied:

R2 ≤ \( \frac{1}{xi^2} \) * \( (x-1)^{3} \)

Mit xi Element aus [0.9,1.1].

Dann habe ich logisch überlegt.

Die Funktion ist monoton fallend im Bereich [0.9,1.1], weswegen das Maximum auf der rechten Seite erlangt werden würde, wenn ich 0.9 einsetze (da dadurch der Nenner am minimalsten ist und somit der Ausdruck rechts des Ungleichheitszeichens am größten).

Damit komme ich auf folgende Lösung:

R2 ≤ \( \frac{1000}{2187} \) *\( x^{3} \) - \( \frac{1000}{729} \) *\( x^{2} \) +  \( \frac{1000}{729} \) *x - \( \frac{1000}{729} \)

Dieses Ergebnis sei nun aber falsch. Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?

Answer 1

Aloha :)

Das Lagrange-Restglied \(R_2(x)\) hat fast die Form des dritten Gliedes der Taylor-Reihe. Daher brauchen wir hier die Ableitungen bis zur dritten Stufe$$f(x)=\ln x\implies f'(x)=\frac{1}{x}\implies f''(x)=-\frac{1}{x^2}\implies f'''(x)=\frac{2}{x^3}$$und können das Lagrange-Restglied wie folgt angeben:$$R_2(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)^3$$

Beachte das \(\xi\) anstelle von \(x_0=1\) als Argument der ersten Ableitung. Über dieses \(\xi\) wissen wir erstmal nur, dass es aus demselben Intervall wie das einzusetzende \(x\) stammen muss. Für \(x\in[0,9|1,1]\) können wir daher folgende Abschätzung durchführen:$$\left|R_2(x)\right|\le\max\limits_{\xi\in[0,9;1,1]}\left(\max\limits_{x\in[0,9|1,1]}\left|\frac{1}{3\xi^3}(x-1)^3\right|\right)=\max\limits_{\xi\in[0,9;1,1]}\left(\left|\frac{1}{3\xi^3}0,1^3\right|\right)=\frac{0,1^3}{3\cdot0,9^3}$$$$\phantom{\left|R_2(x)\right|}=\frac{1}{3\cdot9^3}\approx4,5725\cdot10^{-4}$$

Comments

Ich danke dir vielmals!

Das heißt also, dass die 0.9 nun sowohl für xi als auch für x0 eingesetzt haben, wenn ich das richtig gedeutet habe?

Zwar bin ich mit dem Rechenweg bekannt, jedoch ist mir noch nicht so ganz klar, weswegen ich |R2(x)| <=  dem dritten Glied der Taylor-Reihe setzen muss.

Wieso bestimmt diese Gleichung überhaupt den maximalen Fehler?

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Die Restglied-Abschätzung mit dem nächst-folgenden Glied der Taylor-Entwicklung geht auf Lagrange zurück. Dass die Formel gilt, habt ihr bestimmt in der Vorlesung beweisen, sonst wäre das so nicht in der Aufgabe gestellt worden. Unter dem Stichwort "Restglied nach Lagrange" findest du sonst viele Beweise im Netz und sogar auf youtube.

Um den maximalen Fehler zu bestimmen, musst du ja zwei Maxima bilden. Das erste geht hier über \((x-1)^3\) im Bereich \(x\in[0,9|1,1]\). Da der Betrag gesucht ist, kannst du hier \(x=0,9\) oder \(x=1,1\) einsetzen, es kommt dasselbe Maximum raus.

Bei dem Maxium über \(\xi\) ist das nicht egal, weil bei \(\frac{1}{3\xi^3}\) das \(\xi\) im Nenner auftaucht. Würden wir \(\xi=1,1\) einsetzen, erhalten wir einen kleineren Wert als für \(\xi=0,9\). Da wir aber das Maximum brauchen, muss hier \(\xi=0,9\) eingesetzt werden.

Answer 2

Hallo

Du hast doch das Restglied richtig abgeschätzt mit xi=0.9

was du dann rechnest verstehe ich nicht. in dem Intervall ist |x-1|<=0,1

damit hast du doch |R2|< 1/( 0.9^2)*0,1^3

wie du auf das was du "Damit komme ich auf folgende Lösung:" nennst kann ich nicht mal ahnen

Gruß lul

Comments

Hallo,

vielen lieben Dank für die Antwort!

Ich dachte, ich müsste \( (x-1)^{3} \) noch ausklammern, deswegen kam ich auf diese Werte. Aber so wie ich sehe, kann ich diesen Faktor bei der Restglied-Bestimmung getrost ignorieren und muss mir nur den vorherigen Faktor anschauen?

Liebe Grüße :)

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Hallo

du darfst ihn nicht ignorieren! für jeden Punkt im Intervall gibt er einen anderen Fehler an, du willst den größten Fehler im ganzen Intervall der ist dann x-1=0,1

und damit ein Faktor 1/1000.

Gruß lul