Aloha :)
Das Lagrange-Restglied R2(x) hat fast die Form des dritten Gliedes der Taylor-Reihe. Daher brauchen wir hier die Ableitungen bis zur dritten Stufef(x)=lnx⟹f′(x)=x1⟹f′′(x)=−x21⟹f′′′(x)=x32und können das Lagrange-Restglied wie folgt angeben:R2(x)=3!f′′′(ξ)(x−x0)3
Beachte das ξ anstelle von x0=1 als Argument der ersten Ableitung. Über dieses ξ wissen wir erstmal nur, dass es aus demselben Intervall wie das einzusetzende x stammen muss. Für x∈[0,9∣1,1] können wir daher folgende Abschätzung durchführen:∣R2(x)∣≤ξ∈[0,9;1,1]max(x∈[0,9∣1,1]max∣∣∣∣∣3ξ31(x−1)3∣∣∣∣∣)=ξ∈[0,9;1,1]max(∣∣∣∣∣3ξ310,13∣∣∣∣∣)=3⋅0,930,13∣R2(x)∣=3⋅931≈4,5725⋅10−4