Welche Querschnittslänge hat der Berg?

Question

Aufgabe:

Ein Wanderer steigt auf einen Berg, dessen Silhouette durch

f(x)=0,038x^2−0,004x^3

gegeben ist (Angaben in km).

1) Welche Querschnittslänge hat der Berg?

2) Wie hoch ist der Berg?

3) Wie groß ist der Anstieg maximal, wenn der Wanderer von Westen (von Osten) kommt

Problem/Ansatz:

kann jemand 1-3 lösen

Answer 1

f(x) = 0.038·x^2 - 0.004·x^3

1) Welche Querschnittslänge hat der Berg?

9.5 km

2) Wie hoch ist der Berg?

508.1 m

3) Wie groß ist der Anstieg maximal, wenn der Wanderer von Westen (von Osten) kommt

12.03%

Answer 2

f(x)=0,038x^2−0,004x^3

1) Welche Querschnittslänge hat der Berg?   →   f(x)=0

0,038x^2−0,004x^3=0

x^2*(0,038-0,004x)=0

x_1,2=0   doppelte Nullstelle        Extremwert

0,038-0,004x=0       x≈9,5        Querschnittlänge ≈9,5km

2) Wie hoch ist der Berg?  →  f´(x)=0

f´(x)=0,076x−0,012x^2

0,076x−0,012x^2=0

x*(0,076-0,012x)=0

x_1=0       f(0)=0     siehe auch unter 1)

0,076-0,012x=0

x_2 ≈6,33333      f(6,33333)=0,038*6,33333^2−0,004*6,33333^3≈0,508

Der Berg ist ungefähr 508m hoch.

3a) Wie groß ist der Anstieg maximal, wenn der Wanderer von Westen kommt?  

f´´(x)=0,076−0,024x

0,076−0,024x=0     x≈3,17     f´(3,17)=0,076*3,17−0,012*3,17^2≈0,12          tan^-1(0,12)≈6,8° entspricht  11,92%

3b) Wie groß ist der Anstieg maximal, wenn der Wanderer von Osten kommt?

Am Anfang des Berges bei x=9,5  beträgt die Steigung f´(9,5)=0,076*9,5−0,012*9,5^2=-0,361                               tan^-1(-0,361 )=|-19,85°|=19,85°  entspricht 36,1%