Erstellen einer DGL, welche die Temperatur in einem Kessel wiedergibt

Question

Aufgabe: Erstellen Sie eine Differentialgleichung, welche die Temperatur in einem Kessel wiedergibt. Der Kessel wird mit einem Massestrom von 1,98 (gemessen in kg/min) und einer Zulauftemperatur von 20 Grad befüllt. An der Unterseite des Kessels befindet sich ein Ablauf. Der Massestrom von dem Ablauf wird durch die Pegelhöhe des Wassers bestimmt. Gegeben sind außerdem die Maße des Kessel.

Problem/Ansatz: Folgende Formel habe ich dazu gefunden: mcT'(t) = wcT_Z - wcT(t). Diese bezieht sich darauf, dass sich das Volumen und somit der Ausfluss nicht mehr ändert. Da bei der gesuchten DGL das Volumen und somit der Ausfluss variable sein sollen, habe ich die Formel wie folgt umgeschrieben: m(t)cT'(t) = wcT_Z - w_a(t) c T(t). Teile ich nun diese Formel durch m(t)c und integrieren das ganze und setze die Anfangstemperatur auf 20 Grad, würde das jedoch bedeuten, dass meine Temperatur über 20 Grad steigen würde, sofern sich der Tank noch füllt und der Zufluss(w) höher ist als der Abfluss(w_a(t))?

Nun Frage ich mich ob der Ansatz überhaupt richtig ist und würde mich sehr über Hilfe freuen.

Comments

Hallo

für mich sind das zu wenige Informationen, wodurch wird denn T im Kessel beeinflusst? Du sagst nur etwas über T des Einflusses also Tz?  was ist c?

Gruß lul

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Die Temperatur im Kessel wird durch die Temperatur des Einflusses(Tz) und durch die austretende Flüssigkeit(T) beeinflusst. Also ist die maximal mögliche Temperatur im Kessel T = 20 Grad.

c ist die spezifische Wärmekapazität (in \( \frac{J}{Kg*Kelvin} \) ).

Auf dem folgendem Link auf Seite 3 ist das Modell zeichnerisch dargestellt. Jedoch möchte ich die DGL ohne die Heizung aufstellen, weshalb Q in der Formel wegfällt. Zudem soll das Volumen und somit der Ausfluss nicht konstant sein, sondern auch von der Zeit abhängen.

https://silo.tips/download/versuchsanleitung-mv51

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Der Kessel wird mit einem Massestrom von 1,98 (gemessen in kg/min) und einer Zulauftemperatur von 20 Grad befüllt.

Der Aufgabe entnimmt man das der Kessel Anfangs leer ist und das die zulaufende Flüssigkeit eine Temperatur von 20 Grad besitzt.

Da jetzt nichts über das Abkühlverhalten im Kessel ausgesagt wird ignoriert man das wobei dann die Temperatur immer konstant auf 20 Grad ist.

Soll das so verstanden werden oder welche meiner Überlegungen soll nicht zutreffen?

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Tut mir leid, dass hätte ich noch erwähnen sollen. Der Kessel besitzt anfangs schon ein bestimmtes Volumen an Flüssigkeit mit einer Temperatur von 0 Grad. Die zulaufende Flüssigkeit besitzt eine Temperatur von 20 Grad, sowie du erwähnt hast.

Zur zweiten Überlegung: Genau, der Kessel besitzt kein Abkühlverhalten. Die Temperatur sollte also von 0 Grad an immer weiter steigen, bis die Temperatur von 20 Grad im Tank erreicht ist.

Dazu bräuchte ich nun eine Formel, die den Temperaturverlauf im Kessel darstellt. Ich glaube das Problem ist, dass mein Ansatz nur klappt, wenn der Zulauf(kg/min) gleich dem Ablauf(kg/min) ist. Dies ist der Zustand, in dem das Volumen der Flüssigkeit konstant bleibt.

Da ich alle Maße des Kessels kenne und auch immer den genauen Volumenwert der Flüssigkeit im Kessel kenne, kann ich dadurch über das Gesetz von Torricelli den aktuellen Ausfluss(kg/min) bestimmen.

Ich brauche also nur eine Formel, die mir die gesamt Temperatur im Kessel angibt. Gerne auch in Form einer DGL.

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Hallo

ich weiss noch immer nicht, ob die Temperatur im Kessel anfangs gegeben ist und zwar mit T<20°, so dass die neu Temperatur eine Mischtemperatur ist. dabei soll das Gemisch gut durchmischt sein, so dass die Ablauftemperatur = der momentanen Mischtemperatur ist?

da alles Wasser ist, kann es auf die spezifische Wärme nicht ankommen?

lul

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Und sowohl das Kesselvolumen als auch das Ablaufverhalten außer das es abhängig von der Füllhöhe ist, ist unbekannt.

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Genau, die neue Temperatur ist eine Mischtemperatur über die Zeit(T(t)). Das anfangs vorhandene Volumen der Flüssigkeit besitzt eine Temperatur von 0 Grad.

Genau, die Ablauftemperatur ist die momentane Mischtemperatur.

Genau, auf die sollte es nicht ankommen.

Vielen dank für eure Antworten und beste Grüße

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Das Kesselvolumen ist zu jeder Zeit bekannt. Das Ablaufverhalten (kg/min) ist auch zu jeder Zeit bekannt.

Ich muss nur noch die Formel herleiten, die mir den richtigen Temperaturverlauf im Kessel angibt. Gerne auch in Form einer DGL. Die oben zu sehende DGL bei meinem Ansatz klappt denke ich leider nur wenn der Zu- und Ablauf über die komplette Zeit konstant sind.