Zeigen sie, dass x=y=0,4 das Versetzungssystem wiedergibt und Langzeitentwicklung der Verteilung der Soldaten.

Question

Der französische General und Feldherr Napoleon Bonaparte kämpft gegen die Preußen. DOch diese können sich gegen die Angriffe der Franzosen wehren. Napoleon ärgert dieses maßlos und er schickt 3900 weitere Soldaten. Zunächst sammeln sich die Soldaten im Lager A. Nach jeweils einem Monat werden die Soldaten auf die Standorte Lager A, Lager B, und Lager C verteilt.

Der Wechsle zwischen den Standorten kann durch eine Übergangsmatrix beschrieben werden.

M=

0,25	0,40	0,25
0	0,60	0,50
0,75	0	0,25

a) Interpretieren sie diese Matrix ausführlich.

b) Beschreiben Sie die langfristige Entwicklung in den einzelnen Franzosenlagern. Gibt es einen Bestandsvektor, der sich reproduziert.

c) Da sich der Kampf immer weiter verzögert, schickt Napoleon zusätzlich nach jedem Wechsel neue Soldaten.

Jeden Monat erhält Stadnort A 56 zusätzliche Soldaten, der Standort B 50 zusätzliche Soldaten und der Standort C 25 zusätzliche Soldaten.

Wie verändert sich die Anzahl der Soldaten in den nächsten Monaten ?

Napoleons Berater erstellt einen neuen Verteilungsplan um die Preußen endgültig besiegen zu können. Zu Beginn des Experimentes befanden sich an dem Standort A 2800 Soldaten, an dem Standort B 500 Soldaten und an dem Standort C 600 Soldaten.

B=

0,6	0,5	0,2
0	x	0
y	0	0,8

Zeigen sie, dass x=y=0,4 das Versetzungssystem wiedergibt und interpretieren sie die Langzeitentwicklung der Verteilung der Soldaten.

 

Also bei Aufgabe b und c komme ich nicht wirklich weiter. Bei c weiss ich nicht genau wie ich an die Aufgabenstellung rangehen soll.

Answer 1

b)

Fixvektor M * v = v

[0.25, 0.4, 0.25; 0, 0.6, 0.5; 0.75, 0, 0.25]·[a; b; c] = [a; b; c]

a = c ∧ b = 5/4·c

Wenn wir eine Verteilung suchen gilt auch a + b + c = 1

c + 5/4·c + c = 1
c = 4/13

Damit ist die Verteilung a = 4/13; b = 5/4*4/13 = 5/13; c = 4/13

c)

v1 = M * v0 + s

v2 = M * (M * v0 + s) + s = M^2 * v0 + M * s + s

v3 = M * (M^2 * v0 + M * s + s) = M^3 * v0 + M^2 * s + M * s + s

vn = M^n * v0 + ∑ (i = 0 bis n - 1) (M^i * s)

Hier ist mir unklar ob es auch mit einem bestimmten v0 gezeigt werden soll, weil v0 eigentlich nicht gegeben ist.

Comments

Zeigen sie, dass x=y=0,4 das Versetzungssystem wiedergibt und interpretieren sie die Langzeitentwicklung der Verteilung der Soldaten.

Die Spaltensummen der Matrix sollten 1 ergeben wenn keine Soldaten sterben. Daher würde ich eher sagen x = 0.5, es sei denn die unvollständige Matrix ist falsch angegeben worden.

Nun ist wieder eine Langzeitentwicklung wie in b zu zeigen.

Sollte die Spaltensumme tatsächlich bei 0.9 liegen dann würde es bedeuten das 10% der Soldaten in Standort B sterben und damit würde die Soldatenzahl langfristig auf 0 sinken.