Partielle Integration Verständnisfrage

Question

Aufgabe:

ich hätte eine Frage zur partiellen Integration.

Habe folgende Funktion gegeben 3x*e^2x und als Ober-Untergrenze: 2 und -1 gegeben.

Problem/Ansatz:

Ich habe soweit die Formel zur partiellen Integration nachvollziehen können aber komme an dieser Stelle nicht weiter.

Nachdem man die Formel angewandt hatte kommt im Beispiel  [1/2e^2x*3x] (Ober- Untergrenze)- [3/4e^2x ] (Ober- Untergrenze) heraus

Ich weiß nicht wie man auf die 3/4 hier im Beispiel gekommen ist, da ich davon ausgegangen bin, dass man mit 1/2e^2x*3 und 1/2*3 ja 3/2 ergibt.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\int\limits_{-1}^2\underbrace{3x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{2x}}_{=v'}dx=\left.\underbrace{3x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{2}}_{=v}\right|_{-1}^2-\int\limits_{-1}^2\underbrace{3}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{2}}_{=v}dx=\left(\frac{6e^4}{2}-\frac{-3e^{-2}}{2}\right)-\frac{3}{2}\int\limits_{-1}^2e^{2x}dx$$$$=\left(3e^4+\frac{3}{2e^2}\right)-\frac{3}{2}\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{-1}^2=\left(3e^4+\frac{3}{2e^2}\right)-\frac{3}{2}\left(\frac{e^4}{2}-\frac{e^{-2}}{2}\right)$$$$=3e^4+\frac{3}{2e^2}-\frac{3}{4}e^4+\frac{3}{4e^2}=\frac{9e^4}{4}+\frac{9}{4e^2}=\frac{9}{4}\left(e^4+\frac{1}{e^2}\right)\approx123,15$$

Comments

Hey :)

Vielen Dank für die anschauliche und ausführliche Lösung, ich konnte soweit jeden deiner Schritte nachvollziehen. Ich denke nun komme ich viel besser damit klar als vorher.

Wünsche dir noch einen angenehmen Sonntag :)

Answer 2

Zunächst ein mal ist

        \(\int\limits_{-1}^{2}3x\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\cdot 3x\right]_{-1}^2 - \int\limits_{-1}^{2}3\cdot\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x\).

Die \(\frac{3}{4}\) bekommst du, wenn du das Restintegral \(\int\limits_{-1}^{2}3\cdot\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x\) ausrechnest.