Geben Sie jeweils an, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die beiden Relationen R A x A mit A Teilmenge von |R. Geben Sie jeweils an, ob die Relation eine Ãquivalenzrelation und/ oder Teilordnung ist und begründen Sie.
$$ \text { (i) } A=\mid R \quad x R y:<=>(x-y) \in Q $$
(ii) \( A=(0,+\infty) \quad x R y:<=>x / y \geq 1 \)

Gegeben sind die beiden Relationen R AxA mit A Teilmenge von Ιℝ. Geben Sie jeweils an, ob die Relation eine Äquivalenzrelation und/ oder Teilordnung ist und begründen Sie.

(i) A=|R xRy: <=> (x-y)εQ

(ii) A = (0,+∞) xRy :<=> x/y ≥ 1

Comments

Soll A=|R heißen: Die Grundmenge A (aus der x und y stammen) ist die Menge der reellen Zahlen, also A=ℝ?

Answer 1

zu (i) letztlich muss du prüfen:

reflexiv: Gilt für alle x∈ℝ die Bedingung (x;x)∈R,

                                    also (x-x) ∈ ℚ  ? Ja, denn 0 ∈ ℚ.

symmetrisch: Wenn (x-y) ∈ ℚ dann auch (y-x) ∈ ℚ,

Ja, zu jedem Element  z ∈ ℚ ist auch -z  ∈ ℚ

transitiv : Wenn (x-y) ∈ ℚ und (y-z) ∈ ℚ

dann auch (x-z)  ∈ ℚ ?

Ja, denn   (x-y) +  (y-z)  = x-z

und Q ist bzgl. + abgeschlossen.

Also ist R ein Äquivalenzrelation.