Ich habe momentan Reihen in meinem Studium und komme damit noch nicht so ganz klar. Ich muss nun einige Aufgaben lösen und habe noch etwas Probleme. Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen und erklären wie ihr vorgegangen seid..
Aufgabe
1.1. Berechne die folgenden Summen und Produkte:
$$ \begin{array}{lclll} \sum \limits_{k=3}^{7}\left(k^{2}-k\right) & \sum \limits_{j=5}^{7}\left(\frac{1}{2 j-7}\right) & \sum \limits_{i=-3}^{4} i & \sum \limits_{n=-1}^{3}(2 n+1) & \prod \limits_{k=3}^{6} k \\ \sum \limits_{\alpha=0}^{6} 2^{\alpha} & \sum \limits_{m=-1}^{3} \frac{1}{2 m+1} & \prod \limits_{i=8}^{10} i+1 & \prod \limits_{k=1}^{0} k & \prod \limits_{k=0}^{0} k \\ \sum \limits_{i=0}^{9} 10 & \sum \limits_{i=0}^{9} 10^{i} & \prod \limits_{n=-1}^{9}\left(n^{3}+n\right) & \prod \limits_{n=1}^{9} m & \end{array} $$
Hausaufgabe 1.3. Berechne folgende Ausdrücke (Die Lösung ist hier keine Zahl, sondern ein einfacher Ausdruck, in dem \( n \) vorkommt, aber kein Summenzeichen und kein \( k \).)
$$ \sum \limits_{k=1}^{n}\left((k+1)^{3}-k^{3}\right), \quad \sum \limits_{k=2}^{n+1}((k-1) !-k !), \quad \prod \limits_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k} $$
Hausaufgabe 1.4. Zeige, dass folgende Formel gilt für \( n \in \mathbb{N} \).
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)}=2-\frac{2}{n+1} $$
(Man muss etwas tricksen, um diese Reihe auf die Form einer Telekopsumme zu bekommen!)
$$ \sum \limits_{k=0}^{n}\left((k+1)^{2}-k^{2}\right)=(n+1)^{2} $$
Das sieht mancher vielleicht direkt. Falls nicht, sehen wir vielleicht mehr, wenn wir die Summe ausschreiben. Da das \( n \) keinen konkreten Wert hat, benutzen wir die Pünktchenschreibweise vom Anfang des Kapitels. Eine eventuelle Mehrdeutigkeit stellt jetzt kein Problem mehr dar, denn die Summe liegt ja oben in eindeutiger Schreibweise vor. Wenn \( n \) nicht allzu klein ist, dann können wir mal die ersten drei und die letzten zwei Summanden hinschreiben:
$$ \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)^{2}-k^{2}=\left(1^{2}-0^{2}\right)+\left(2^{2}-1^{2}\right)+\left(3^{2}-2^{2}\right)+\cdots+\left(n^{2}-(n-1)^{2}\right)+\left((n+1)^{2}-n^{2}\right) $$
Sortieren wir ein wenig um, dann ergibt sich:
$$ =-0^{2}+1^{2}-1^{2}+2^{2}-2^{2}+3^{2}-\cdots+(n-1)^{2}-(n-1)^{2}+n^{2}-n^{2}+(n+1)^{2} . $$
Wir sehen, dass sich 1 und -1 genau aufheben, ebenso \( 2^{2} \) und \( -2^{2}, 3^{3} \) und \( -3^{3} \) usw. bis \( n^{2} \) und \( -n^{2} \). Übrig bleiben nur der erste Summand (also -0 ) und der letzte (also \( (n+1)^{2} \) ). Insgesamt ergibt sich \( -0+(n+1)^{2}, \) also \( (n+1)^{2} \).
Wenn eine Summe so in sich zusammenfällt, heißt sie auch Teleskopsumme. Wir haben oben schon eine Teleskopsumme gesehen, im Beweis zur endlichen geometrischen Reihe (Seite 11). Wer möchte kann sich diesen Beweis nochmal mit der Pünktchenschreibweise klar machen.
Aufgabe
1.2. Berechne folgende Ausdrücke:
$$ \sum \limits_{k=1}^{10}\left(k^{7}-k^{5}+k\right)+\sum \limits_{k=21}^{30}\left((k-20)^{5}-(k-20)^{7}\right) \quad \sum \limits_{k=4}^{10}(k-2)^{2}-\sum \limits_{k=0}^{7}(k+1)^{2} $$
! , LG.
