folgende reihen untersuchen

Question

Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \)
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} \)
(c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{42}}{e^{n}} \)
(d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{8^{n}}{\sqrt{n !}} \)
(e) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) \)
(f) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{4^{n}+5^{n}} \).

also wie kann man die Antwort begründen

Comments

Versuche doch mal, die Dir bekannten Kriterien für Reihenkonvergenz anzuwenden.

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Und wie geht man bei b) vor? Ich habe das mit dem Quotientenkriterium gemacht und komme am Ende bei einem Grenzwert von 1 raus...

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Mit Majorantenkriterium: Für \(n>2\) gilt$$\quad0<\frac{n!}{n^n}=\frac{1{\cdot}2}{n{\cdot}n}\cdot\underbrace\frac{3{\cdot}4\cdots n}{n{\cdot}n\cdots n}_{\le1}\le\frac2{n^2}.$$

Answer 1

a) Erweitere zur 3. binom. Formel!