Question

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

(a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}+3 n+1} \)

(b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3+(-1)^{n}} \)

(c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} \)

(d) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n^{2}} \) für festes \( x \in \mathbb{R} \)

Answer 1

(a) Da $$n^2+3n+1>n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$$ ist die Reihe nach dem Minorantenkriterium divergent. (b) divergent nach trivialkriterium (c)konvergent nach Quotientenkriterium mit lim (1-1/n)^n=1/e (d) Nach Cauchy-hadamard ist der Konvergenzradius 1, nach Trivialkriterium divergiert die Reihe für -1 und 1.