Eigenschaften mit Potenzreihendarstellung zeigen

Question

ich soll mit Hilfe der Potenzreihendarstellung von exp(x) folgende Eigenschaften zeigen:

a) \( \lim\limits_{x\to\infty +} \) \( \frac{exp(x)}{x^n} \) = +∞

b) \( \lim\limits_{x\to\infty -} \) xⁿ * exp(x) = 0

c) \( \lim\limits_{x\to\ 0} \) y * (ln(y)) = 0

Wie mache ich das?

Für die Potenzreihendarstellung von exp(x) habe ich ja \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} \) und für xⁿ wäre es \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^n} \) ...

Teile ich die unendliche Reihe in endliche Teile und überprüfen dann was passiert wenn x-->∞+ oder wie gehe ich da am besten vor?

Unterscheidet sich die herangehensweise an a dann von den Aufgabe b und c?

Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte!

Danke und noch einen schönen Nachmittag euch!

Comments

Zu a) siehe hier: https://www.mathelounge.de/291283/lhospital-zeige-dass-fur-alle-n-element-n-gilt.

Answer 1

möglicherweise hilft das

$$ \frac{exp(x)}{x^n}=\frac{\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}}{x^n} =\sum \limits_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{x^n*k!}}$$

und bedenke, dass in der Summe irgendwann k>n ist

und wenn dann noch x sehr groß wird ???

Comments

Das verstehe ich soweit.

Aber reicht das schon um zu zeigen, dass damit \( \lim\limits_{x\to\infty+} \) \( \frac{exp(x)}{x^n} \) = + ∞ ?

Muss ich nicht noch etwas bei der Potenzreihendarstellung kürzen oder abschätzen ?

Answer 2

Hallo

es ist ungünstig in der Summe n zu verwenden, und bei x^n

also schreibe $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}x^k/k! \text{ dann hast du insgesamt :  }\sum \limits_{k=0}^{\infty}x^k/(k!*x^n)=\sum \limits_{k=0}^{\infty}x^{k-n}/k!$$

dann siehst du wie es geht. (für x^n kannst du doch keine Summe hinschreiben?)

Gruß lul