Aloha :)
Mittels der Summenformel für die geometrische Reihe finden wir eine Potenzreihe für \(g(x)\).$$g(x)=\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\quad(\text{für }|x|<1)$$Da die Reihe für \(|x|<1\) konvergiert, können wir die Summanden ableiten:$$g'(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^k\quad(\text{für }|x|<1)$$
Bei der Potenzreihe für \(h(x)\) nutzen wir die Reihendarstellung der \(e^x\)-Funktion.$$h(x)=\frac{e^x-1}{x}=\frac{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}-1}{x}=\frac{\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k!}}{x}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^{k-1}}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{k}}{(k+1)!}$$Wir können die Summanden wieder einzeln ableiten:$$h'(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{kx^{k-1}}{(k+1)!}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{kx^{k-1}}{(k+1)!}$$
